ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Вопрос 43 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Какие фигуры называют равновеликими?

Равновеликие фигуры – это фигуры с одинаковыми площадями.

1. Определение равновеликих фигур

Две фигуры называются равновеликими, если их площади равны. Это означает, что одна фигура может быть преобразована в другую путем изменения формы, но при этом сохраняя свою площадь неизменной. Суть этого определения заключается именно в равенстве площадей, а не в одинаковых размерах или формах фигур.

2. Математическое выражение

Если у нас есть две фигуры $A$ и $B$, то они равновелики, если:

$$S(A)=S(B)$$

где $S(A)$ и $S(B)$ — площади фигур $A$ и $B$ соответственно. Таким образом, чтобы проверить, являются ли две фигуры равновеликими, необходимо вычислить их площади и сравнить их значения.

3. Примеры равновеликих фигур

Чтобы понять это на примере, рассмотрим несколько типов фигур:

• Прямоугольники: Прямоугольники с одинаковыми площадями, но разными длинами и ширинами являются равновеликими. Например, прямоугольник с размерами 4 см на 5 см и прямоугольник с размерами 2 см на 10 см будут равновеликими, потому что их площади $4\times 5=20$ см² и $2\times 10=20$ см² одинаковы.
• Круги: Круги с одинаковыми радиусами будут равновеликими, потому что их площади $S=\pi r^2$ одинаковы.
• Треугольники: Треугольники с одинаковыми основаниями и высотами, независимо от их углов, будут равновеликими, так как их площади рассчитываются по формуле $S=\frac{1}{2}\times \text{основание}\times \text{высота}$.

4. Свойства равновеликих фигур

• Перевод одной фигуры в другую: Если фигуры равновелики, то теоретически одну фигуру можно трансформировать в другую без изменения площади. Например, если растягивать или сжимать фигуру, изменяя её форму, но не изменяя площадь, фигуры остаются равновеликими.
• Образование новых фигур: Сложение двух равновеликих фигур (например, двух прямоугольников) может дать фигуру с суммарной площадью, которая равна сумме площадей исходных фигур.

5. Теоремы и свойства, связанные с равновеликими фигурами

• Теорема о равновеликих фигурах: В любом пространстве две фигуры равновелики, если и только если их площади одинаковы.
• Морфизм фигур: Для равновеликих фигур могут быть выполнены определенные геометрические преобразования, такие как сдвиги, повороты или симметрии, не изменяя их площадей.

6. Применение равновеликих фигур в математике

• Площадь и сравнение: Равновеликие фигуры активно используются при сравнении объектов, например, в задачах, где нужно доказать, что площади двух фигур одинаковы, несмотря на их различия в форме или внешнем виде.
• Планиметрия: В задачах планиметрии часто встречаются задачи на доказательство равновеликости фигур, где используется понятие площади.

7. Как доказать, что фигуры равновелики?

Чтобы доказать, что две фигуры равновелики, нужно либо напрямую вычислить их площади и показать, что они одинаковы, либо использовать свойства фигур и геометрические теоремы, которые могут помочь установить равенство площадей. Это может включать использование стандартных формул для площади различных геометрических объектов или разбиение фигуры на более простые части, площади которых можно легко вычислить.

8. Фигуры, которые могут быть равновеликими, но не равными

Важно отметить, что равновеликие фигуры не обязательно должны быть одинаковыми по форме. Например, круг и прямоугольник могут иметь одинаковые площади, но совершенно разные формы. Это подтверждает, что понятие равновеликих фигур связано только с площадью, а не с внешним видом или размерами.

9. Равновеликие фигуры и их приложения

Применение понятия равновеликих фигур широко используется в задачах, связанных с оптимизацией использования площади, таких как упаковка предметов в ограниченное пространство, или при проектировании различных конструкций, где важно сохранить площадь, но возможно изменение формы.

10. Заключение

Равновеликие фигуры — это такие фигуры, площади которых одинаковы, независимо от их формы, размеров или ориентации в пространстве. Их использование важно в различных областях геометрии, а также в практических приложениях, где важен учет площади, но не обязательно сохранение идентичности формы.