ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Вопрос 39 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Сколько прямых проходит через две точки?

Через две точки можно провести только одну прямую.

1. Основные определения и утверждения

Для начала, определим ключевые понятия:

• Точка — это объект, не имеющий размеров, лишь указывающий на положение в пространстве.
• Прямая — это геометрическая фигура, которая простирается в обе стороны бесконечно, не имея кривизны. Прямая не имеет толщины и ширины.
• Множество точек на прямой — это все точки, лежащие на этой прямой.

2. Постулат о единственности прямой через две точки

Для двух точек $A$ и $B$ существует следующее утверждение:

Постулат: Через любые две разные точки можно провести одну и только одну прямую.

3. Обоснование

Это утверждение имеет фундаментальное значение в геометрии, и оно основывается на нескольких принципах:

• Существование прямой: Два разных положения (две различные точки) задают направление, которое можно продолжать в обе стороны бесконечно. Следовательно, можно провести прямую через эти две точки.
• Единственность прямой: Чтобы доказать, что через две точки можно провести только одну прямую, нужно показать, что если существует другая прямая, которая проходит через эти же две точки, то она совпадает с первой.

Предположим, что существует другая прямая, проходящая через точки $A$ и $B$. Пусть эта прямая называется $l$, а первая — $m$. Если обе прямые проходят через две одинаковые точки, то они обязаны совпасть, так как нет другого способа провести вторую прямую, имея в распоряжении лишь две точки. Иначе, если бы прямые не совпали, то в пространстве было бы невозможно провести две прямые через одну и ту же пару точек без противоречия, потому что прямая, по определению, не имеет изгибов и может быть продолжена в обе стороны бесконечно.

Таким образом, мы получаем, что прямая, проходящая через две точки, является уникальной.

4. Геометрическое изображение

Предположим, у нас есть две точки $A$ и $B$ в пространстве. Прямая, проходящая через эти две точки, будет единственной, поскольку для ее определения достаточно указать только две точки. Другими словами, если бы существовала еще одна прямая, то она пересекалась бы с нашей прямой в точках $A$ и $B$, что невозможно, так как две прямые, которые пересекаются в двух точках, должны совпадать (это свойство прямых в евклидовой геометрии).

5. Применение постулата

• Этот постулат лежит в основе многих геометрических теорем и построений. Например, он используется при доказательствах теорем о параллельности прямых, при построении углов и многих других задачах.
• Он также важен в контексте аксиоматики Евклидовой геометрии, где постулат о существовании и единственности прямой через две точки является одной из основополагающих аксиом.

6. Заключение

Через любые две точки $A$ и $B$, если эти точки различны, можно провести только одну прямую. Это утверждение основывается на аксиомах и постулатах геометрии и является базовым для построения многих более сложных геометрических конструкций.