ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Вопрос 27 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Как найти сумму и разность двух дробей?

Чтобы найти сумму (разность) двух дробей, нужно привести дроби к общему знаменателю, затем сложить (вычесть) числители, при этом знаменатель оставить без изменений.

1. Приведение дробей к общему знаменателю:

Чтобы сложить или вычесть дроби, их знаменатели должны быть одинаковыми. Если знаменатели дробей разные, то нужно привести их к общему знаменателю. Для этого выполняются следующие действия:

1.1. Нахождение общего знаменателя:
Общий знаменатель двух дробей — это наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. НОК можно найти с помощью разложения знаменателей на простые множители и выбора наибольших степеней этих множителей. Если оба знаменателя одинаковы, то общий знаменатель уже найден.

1.2. Умножение числителя и знаменателя каждой дроби:
Каждую дробь необходимо умножить на такое число, которое приведет её знаменатель к общему знаменателю. Для этого числитель и знаменатель каждой дроби умножаются на соответствующие множители, чтобы знаменатель стал равным общему.

2. Изменение числителей:

После того как дроби приведены к общему знаменателю, нужно изменить числители. Для каждой дроби числитель умножается на тот множитель, на который был умножен её знаменатель, чтобы сохранить пропорциональность дроби.

3. Выполнение сложения или вычитания числителей:

Теперь, когда дроби имеют одинаковый знаменатель, можно складывать или вычитать их числители.

• Для сложения дробей нужно сложить их числители и оставить общий знаменатель без изменений:

  $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$$

• Для вычитания дробей нужно вычесть числитель второй дроби из числителя первой и оставить общий знаменатель:

  $$\frac{a}{b} — \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d — c \cdot b}{b \cdot d}$$

4. Упрощение результата:

После выполнения операции (сложения или вычитания) необходимо проверить, можно ли результат упростить. Для этого нужно найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя полученной дроби и поделить числитель и знаменатель на этот НОД. Это позволит получить дробь в её наименьшей форме.

Пример:

Если нам нужно сложить дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{6}$, то:

1. Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 6 — это 6. Мы умножаем первую дробь на $\frac{2}{2}$, чтобы её знаменатель стал 6:

   $$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$$

   Вторая дробь уже имеет знаменатель 6, так что оставляем её как есть:

   $$\frac{5}{6}$$

2. Складываем числители:

   $$\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{4 + 5}{6} = \frac{9}{6}$$

3. Упрощаем результат:

   $$\frac{9}{6} = \frac{9 \div 3}{6 \div 3} = \frac{3}{2}$$

Ответ: $\frac{3}{2}$.

Заключение:

Чтобы сложить или вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю, затем сложить или вычесть числители, оставив знаменатель без изменений, и, если возможно, упростить полученную дробь.