ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Вопрос 2 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Что такое система счисления? Почему используемую нами систему счисления называют позиционной и десятичной?

Способ записи чисел называют системой счисления.
Используемую нами систему счисления называют позиционной, так как важно на каком месте (позиции) стоит цифра; и десятичной, так как десять единиц одного разряда составляют одну единицу старшего разряда.

1. Общее понятие о системах счисления:

Система счисления — это набор правил, с помощью которых представляются и обрабатываются числа. Число в системе счисления представляется через цифры или символы, которые могут иметь различные значения в зависимости от того, на каком месте (позиции) они находятся. Поэтому важно, какую позицию занимает цифра, чтобы понять её значение в числе.

Системы счисления можно разделить на две основные категории:

• Позиционные системы счисления, где значение цифры зависит от её позиции.
• Непозиционные системы счисления, где значение цифры не зависит от её положения (например, римская система счисления).

2. Позиционная система счисления:

Позиционная система счисления — это такая система, в которой значение каждой цифры зависит от её положения в числе. То есть, каждая цифра имеет определённую ценность в зависимости от того, в каком разряде (позиции) она стоит.

Принцип работы:

В позиционных системах каждая цифра умножается на основание системы счисления в соответствующей степени. Например, в десятичной системе (основание 10), цифры на разных позициях означают разные степени числа 10.

• В числе $314$ в десятичной системе:

  $$314 = 3 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0$$

  То есть, цифра «3» находится в разряде сотен, «1» в разряде десятков, а «4» в разряде единиц.

3. Десятичная система счисления:

Десятичная система счисления — это наиболее часто используемая нами система счисления, в которой основание равно 10. В этой системе счисления используются 10 цифр: от 0 до 9.

• Основание системы: 10.
• Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В десятичной системе важно, что каждая цифра умножается на степень числа 10, соответствующую её позиции. То есть, начиная с позиции единиц (10^0), каждая следующая позиция в числе увеличивает степень основания на 1.

Пример:

Число $5483$ в десятичной системе счисления представляется как:

$$5483 = 5 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0$$

Здесь:

• «5» означает 5000 (5 тысяч),
• «4» означает 400 (4 сотни),
• «8» означает 80 (8 десятков),
• «3» означает 3 (3 единицы).

Преимущество десятичной системы:

Десятичная система используется повсеместно, потому что она основана на числе 10, которое тесно связано с количеством пальцев на руках человека, что делает её интуитивно понятной и удобной в повседневной жизни.

4. Структура разрядов в десятичной системе:

Каждая позиция (разряд) в числе в десятичной системе представляет собой степень числа 10:

• $10^0$ — разряд единиц (единицы),
• $10^1$ — разряд десятков,
• $10^2$ — разряд сотен,
• $10^3$ — разряд тысяч и так далее.

Каждый разряд определяет ценность цифры в зависимости от её позиции в числе. Например, цифра «3» в разряде тысяч будет иметь значение 3000, а в разряде единиц — просто 3.

5. Примеры записи чисел в десятичной системе:

• Число $5483$ можно расшифровать как:

  $$5483 = 5 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 3 \cdot 1$$

• Число $1025$ можно записать как:

  $$1025 = 1 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 5 \cdot 1$$

6. Позиция цифры в числе:

Цифры в числе могут располагаться в любом месте, но их значения всегда будут зависеть от их позиции:

• Первая позиция справа — это разряд единиц (10^0),
• Вторая позиция справа — это разряд десятков (10^1),
• Третья позиция справа — это разряд сотен (10^2),
• И так далее.

7. Заключение:

Таким образом, десятичная система счисления является позиционной системой, где важно на каком месте стоит цифра, так как значение цифры зависит от её позиции в числе. В этой системе счисления используется десятизначный набор цифр (от 0 до 9), и на каждом уровне (разряде) значение цифры умножается на соответствующую степень числа 10.

Этот принцип записи чисел делает систему счисления удобной и гибкой для записи больших чисел, а также для математических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление.