ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Вопрос 15 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Какие свойства (законы) сложения и умножения вы знаете? Сформулируйте их.

1) Переместительное свойство сложения – от перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
a + b = b + а.
2) Сочетательное свойство сложения – чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
(a + b) + c = a + (b + c).
3) Переместительное свойство умножения – от перестановки мест множителей произведение не меняется.
a ∙ b = b ∙ а.
4) Сочетательное свойство умножения – чтобы умножить произведение двух чисел на число, можно сначала это число умножить на один из множителей, а затем умножить на другой множитель.
(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c).
5) Распределительное свойство умножения относительно сложения — чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.
(a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c.

1) Переместительное свойство сложения

Определение:
Переместительное свойство сложения утверждает, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. То есть, можно менять порядок слагаемых, и сумма останется той же.

Формула:

$$a + b = b + a$$

Пример:
Если взять два числа, например 3 и 5:

$$3 + 5 = 8, \quad 5 + 3 = 8$$

Как видно, сумма не зависит от порядка чисел.

Пояснение:
Суть переместительного свойства заключается в том, что независимо от того, какое из чисел стоит первым, сумма не изменится. Это свойство активно используется в арифметике и алгебре, так как позволяет переставлять слагаемые в выражениях для упрощения вычислений.

2) Сочетательное свойство сложения

Определение:
Сочетательное свойство сложения гласит, что для того чтобы прибавить третье число к сумме двух других, можно сначала сложить два числа, а затем к полученному результату прибавить третье. Другими словами, порядок выполнения операций не влияет на итоговую сумму.

Формула:

$$(a + b) + c = a + (b + c)$$

Пример:
Возьмём числа 1, 2 и 3:

$$(1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6, \quad 1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6$$

Результат не меняется независимо от того, как группируются числа.

Пояснение:
Сочетательное свойство позволяет упростить сложение. Это свойство гарантирует, что порядок группировки чисел не влияет на результат, что особенно полезно при сложении нескольких чисел.

3) Переместительное свойство умножения

Определение:
Переместительное свойство умножения утверждает, что от перестановки мест множителей произведение не меняется. То есть, можно менять порядок множителей, и результат останется неизменным.

Формула:

$$a \cdot b = b \cdot a$$

Пример:
Если взять два числа, например 4 и 6:

$$4 \cdot 6 = 24, \quad 6 \cdot 4 = 24$$

Произведение остаётся одинаковым при любом порядке множителей.

Пояснение:
Это свойство позволяет менять порядок множителей в выражениях без изменения результата. В практике умножения это свойство активно используется для упрощения и перестановки множителей.

4) Сочетательное свойство умножения

Определение:
Сочетательное свойство умножения утверждает, что если необходимо умножить произведение двух чисел на третье число, то можно сначала умножить одно из чисел на третье, а затем умножить результат на другое число. Это свойство даёт гибкость в вычислениях, позволяя изменять порядок выполнения операций.

Формула:

$$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$$

Пример:
Для чисел 2, 3 и 4:

$$(2 \cdot 3) \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24, \quad 2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 = 24$$

Результат остаётся одинаковым независимо от порядка выполнения операций.

Пояснение:
Сочетательное свойство умножения помогает упростить выражения и эффективно вычислять произведения. Это свойство позволяет нам менять порядок операций при умножении без изменения конечного результата.

5) Распределительное свойство умножения относительно сложения

Определение:
Распределительное свойство умножения относительно сложения говорит о том, что умножение суммы на число эквивалентно умножению этого числа на каждое слагаемое суммы и последующему сложению полученных результатов.

Формула:

$$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$$

Пример:
Для чисел 2, 3 и 4:

$$(2 + 3) \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20, \quad 2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 = 8 + 12 = 20$$

Видно, что умножение суммы на число даёт тот же результат, что и умножение каждого слагаемого на это число с последующим сложением.

Пояснение:
Это свойство широко используется в алгебраических вычислениях, так как позволяет упростить выражения и раскрыть скобки. Оно также полезно при решении задач с многосложными выражениями, помогая избежать сложных вычислений.

Заключение:

Все эти свойства являются основными правилами арифметики и алгебры. Они упрощают работу с числами и выражениями, а также позволяют делать вычисления более гибкими и эффективными. Переместительное и сочетательное свойства дают свободу в изменении порядка чисел и операций, а распределительное свойство помогает упрощать выражения при умножении и сложении.