ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 6.311 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Запишите буквенное выражение для вычисления и вычислите объём, площадь поверхности и суммы длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда (рис. 6.25) при:
а) а = 6,8 см, m = 6 см, n = 13 см;
б) а = 18,2 см, m = 4 см, n = 3,5 см;
в) а = 0,48 см, m = 0,76 см, n = 3,75 см;
г) а = 3,05 см, m = 0,84 см, n = 2,45 см.

V = amn (см³) – объём;
Sпов. = 2 ∙ (am + an + mn) (см²) – площадь поверхности;
l = 4 ∙ (a + m + n) (см) – сумма длин всех рёбер.

а) Если а = 6,8 см, m = 6 см, n = 13 см, то

V = 6,8 ∙ 6 ∙ 13 = 6,8 ∙ 78 = 530, 4 (см³);
S пов. = 2 ∙ (6,8 ∙ 6 + 6,8 ∙ 13 + 6 ∙ 13) = 2 ∙ (40,8 + 88,4 + 78) = 2 ∙ 207,2 = 414,4 (см2);
l = 4 ∙ (6,8 + 6 + 13) = 4 ∙ 25,8 = 103,2 (см).

б) Если а = 18,2 см, m = 4 см, n = 3,5 см, то

V = 18,2 ∙ 4 ∙ 3,5 = 18,2 ∙ 14 = 254,8 (см³);
Sпов. = 2 ∙ (18,2 ∙ 4 + 18,2 ∙ 3,5 + 4 ∙ 3,5) = 2 ∙ (72,8 + 63,7 + 14) = 2 ∙ 150,5 = 301 (см²);
l = 4 ∙ (18,2 + 4 + 3,5) = 4 ∙ 25,7 = 102,8 (см).

в) Если а = 0,48 см, m = 0,76 см, n = 3,75 см, то

V = 0,48 ∙ 0,76 ∙ 3,75 = 0,3648 ∙ 3,75 = 1,368 (см³);
Sпов. = 2 ∙ (0,48 ∙ 0,76 + 0,48 ∙ 3,75 + 0,76 ∙ 3,75) = 2 ∙ (0,3648 + 1,8 + 2,85) = 2 ∙ 5,0148 = 10,0296 (см²);
l = 4 ∙ (0,48 + 0,76 + 3,75) = 4 ∙ 4,99 = 19,96 (см).

г) Если а = 3,05 см, m = 0,84 см, n = 2,45 см, то

V = 3,05 ∙ 0,84 ∙ 2,45 = 2,562 ∙ 2,45 = 6,2769 (см³);
Sпов. = 2 ∙ (3,05 ∙ 0,84 + 3,05 ∙ 2,45 + 0,84 ∙ 2,45) = 2 ∙ (2,562 + 7,4725 + 2,058) = 2 ∙ 12,0925 = 24,185 (см²);
l = 4 ∙ (3,05 + 0,84 + 2,45) = 4 ∙ 6,34 = 25,36 (см).

Прямоугольный параллелепипед с рёбрами, длины которых обозначены как $a$, $m$ и $n$. Мы будем вычислять:

1. Объём (V) — это пространство, которое занимает параллелепипед.
2. Площадь поверхности (S) — это сумма площадей всех его граней.
3. Сумму длин всех рёбер (L) — это сумма длин всех рёбер, которая поможет понять, насколько «долго» по периметру расположен сам параллелепипед.

1. Формулы для вычислений:

1.1 Объём прямоугольного параллелепипеда:

Объём — это произведение длины, ширины и высоты параллелепипеда:

$$V = a \cdot m \cdot n$$

где $a$ — длина, $m$ — ширина, $n$ — высота.

1.2 Площадь поверхности:

Площадь поверхности — это сумма площадей всех 6 граней параллелепипеда. Так как противоположные грани одинаковы, то она вычисляется по формуле:

$$S = 2 \cdot (a \cdot m + a \cdot n + m \cdot n)$$

Здесь:

• $a \cdot m$ — площадь первой пары противоположных граней,
• $a \cdot n$ — площадь второй пары,
• $m \cdot n$ — площадь третьей пары граней.

1.3 Сумма длин рёбер:

У прямоугольного параллелепипеда 12 рёбер: по 4 рёбра для каждой из трёх измерений $a$, $m$ и $n$. Сумма длин рёбер вычисляется как:

$$L = 4 \cdot (a + m + n)$$

Здесь:

• $4 \cdot a$ — сумма длин рёбер по длине,
• $4 \cdot m$ — сумма длин рёбер по ширине,
• $4 \cdot n$ — сумма длин рёбер по высоте.

а) $a = 6{,}8 \text{ см},\ m = 6 \text{ см},\ n = 13 \text{ см}$

Шаг 1: Объём

По формуле объёма:

$$V = 6{,}8 \cdot 6 \cdot 13 = 530{,}4\ \text{см}^3$$

Объём параллелепипеда равен 530,4 см³.

Шаг 2: Площадь поверхности

Для вычисления площади поверхности:

$$S = 2 \cdot (6{,}8 \cdot 6 + 6{,}8 \cdot 13 + 6 \cdot 13)$$

Считаем по частям:

$$S = 2 \cdot (40{,}8 + 88{,}4 + 78) = 2 \cdot 207{,}2 = 414{,}4\ \text{см}^2$$

Площадь поверхности параллелепипеда равна 414,4 см².

Шаг 3: Сумма длин рёбер

Сумма длин рёбер:

$$L = 4 \cdot (6{,}8 + 6 + 13) = 4 \cdot 25{,}8 = 103{,}2\ \text{см}$$

Сумма длин всех рёбер составляет 103,2 см.

б) $a = 18{,}2 \text{ см},\ m = 4 \text{ см},\ n = 3{,}5 \text{ см}$

Шаг 1: Объём

По формуле:

$$V = 18{,}2 \cdot 4 \cdot 3{,}5 = 254{,}8\ \text{см}^3$$

Объём параллелепипеда равен 254,8 см³.

Шаг 2: Площадь поверхности

Считаем площадь поверхности:

$$S = 2 \cdot (18{,}2 \cdot 4 + 18{,}2 \cdot 3{,}5 + 4 \cdot 3{,}5)$$

Частично:

$$S = 2 \cdot (72{,}8 + 63{,}7 + 14) = 2 \cdot 150{,}5 = 301\ \text{см}^2$$

Площадь поверхности параллелепипеда равна 301 см².

Шаг 3: Сумма длин рёбер

Сумма длин рёбер:

$$L = 4 \cdot (18{,}2 + 4 + 3{,}5) = 4 \cdot 25{,}7 = 102{,}8\ \text{см}$$

Сумма длин всех рёбер составляет 102,8 см.

в) $a = 0{,}48 \text{ см},\ m = 0{,}76 \text{ см},\ n = 3{,}75 \text{ см}$

Шаг 1: Объём

По формуле:

$$V = 0{,}48 \cdot 0{,}76 \cdot 3{,}75 = 1{,}368\ \text{см}^3$$

Объём параллелепипеда равен 1,368 см³.

Шаг 2: Площадь поверхности

Площадь поверхности:

$$S = 2 \cdot (0{,}48 \cdot 0{,}76 + 0{,}48 \cdot 3{,}75 + 0{,}76 \cdot 3{,}75)$$

Частично:

$$S = 2 \cdot (0{,}3648 + 1{,}8 + 2{,}85) = 2 \cdot 5{,}0148 = 10{,}0296\ \text{см}^2$$

Площадь поверхности параллелепипеда равна 10,03 см².

Шаг 3: Сумма длин рёбер

Сумма длин рёбер:

$$L = 4 \cdot (0{,}48 + 0{,}76 + 3{,}75) = 4 \cdot 5{,}0 = 20\ \text{см}$$

Сумма длин всех рёбер составляет 20 см.

г) $a = 3{,}05 \text{ см},\ m = 0{,}84 \text{ см},\ n = 2{,}45 \text{ см}$

Шаг 1: Объём

Объём:

$$V = 3{,}05 \cdot 0{,}84 \cdot 2{,}45 = 6{,}2781\ \text{см}^3$$

Объём параллелепипеда равен 6,2781 см³.

Шаг 2: Площадь поверхности

Площадь поверхности:

$$S = 2 \cdot (3{,}05 \cdot 0{,}84 + 3{,}05 \cdot 2{,}45 + 0{,}84 \cdot 2{,}45)$$

Частично:

$$S = 2 \cdot (2{,}562 + 7{,}4725 + 2{,}058) = 2 \cdot 12{,}0925 = 24{,}185\ \text{см}^2$$

Площадь поверхности параллелепипеда равна 24,185 см².

Шаг 3: Сумма длин рёбер

Сумма длин рёбер:

$$L = 4 \cdot (3{,}05 + 0{,}84 + 2{,}45) = 4 \cdot 6{,}34 = 25{,}36\ \text{см}$$

Сумма длин всех рёбер составляет 25,36 см.