ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 6.292 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Почему приписывание справа нулей к натуральному числу увеличивает его значение, а приписывание к десятичной дроби не меняет её значения?

Если приписать справа к натуральному числу нули, то оно увеличиться на 10, 100 и т.д. (смотря сколько нулей приписали), так как цифры в числе смещаются по разрядам в сторону увеличения.

А при приписывании нуля справа к десятичной дроби, перехода по разрядам не происходит. Поэтому, нули в конце десятичной дроби не меняют данную дробь.

Натуральные числа

Рассмотрим натуральные числа (например, 123, 4567, 890). В десятичной системе счисления каждое число можно представить как сумму произведений цифр на степени десятки:

$$N = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \cdots + a_1 \cdot 10^1 + a_0 \cdot 10^0$$

где $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ — цифры числа, а степени десятки определяют его разрядность.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда мы приписываем нули к натуральному числу справа.

Пример:

Число 123. Оно в десятичной записи выглядит как:

$$123 = 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0$$

Если мы приписываем один ноль справа (получаем 1230), то это число записывается как:

$$1230 = 1 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0$$

В результате, число увеличивается в 10 раз, так как добавленный ноль сдвигает все цифры на один разряд вправо, умножая исходное число на 10.

Приписывание большего числа нулей приводит к тому, что число увеличивается в соответствующее количество раз. Например, при добавлении двух нулей:

$$123 \to 12300 = 1 \cdot 10^4 + 2 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0$$

Здесь число увеличивается в 100 раз (или на $10^2$, что соответствует двум нулям).

Таким образом, при приписывании нулей к натуральному числу происходит увеличение его значения, так как каждый новый ноль сдвигает цифры на более высокие разряды (большее значение разряда).

Десятичные дроби

Теперь рассмотрим десятичные дроби. Десятичная дробь, например $0,123$, представляет собой число вида:

$$0,123 = 1 \cdot 10^{-1} + 2 \cdot 10^{-2} + 3 \cdot 10^{-3}$$

В данном случае каждая цифра умножается на отрицательную степень десяти, что означает, что разряды дроби идут в обратном порядке — от меньших значений к большему. Если мы приписываем нули к десятичной дроби справа, то цифры дроби остаются на своих местах, и значение дроби не меняется. Приписывание нуля в конце дроби фактически означает добавление еще одного нулевого разряда, который не влияет на числовое значение, так как дробь уже представлена в виде чисел на позициях с более высокими отрицательными степенями.

Пример:

Возьмем дробь $0,123$. Если приписать к ней один ноль, то мы получим:

$$0,1230$$

Это число всё ещё будет равно $0,123$, так как дополнительный ноль не меняет значение. В десятичной системе счисления при добавлении нуля справа в дробь не происходит сдвига цифр на более высокие разряды, так как дробь уже находится на фиксированной позиции с десятичной точкой.

Таким образом, при приписывании нулей к десятичной дроби её значение не изменяется. В случае дробей нули после запятой только расширяют запись числа, но не влияют на его величину. Например, дроби $0,5$, $0,50$, $0,500$ — все эти числа равны между собой.

Сравнение

• При приписывании нулей к натуральному числу происходит увеличение значения числа, так как цифры сдвигаются в сторону увеличения разрядов (слева направо).
• При приписывании нулей к десятичной дроби значение числа не меняется, так как десятичная точка остаётся на месте, и разряды после неё не изменяются.

Таким образом, причина заключается в том, что в натуральных числах разряды, к которым приписываются нули, определяют более высокие степени числа, увеличивая его значение, а в десятичных дробях нули после десятичной точки не влияют на величину числа, поскольку разрядность уже определена.