ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 5.31 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Отметьте точки F и А, находящиеся на расстоянии 9 см друг от друга. Проведите две окружности: радиусом 4 см с центром F и радиусом 7 см с центром А. Пересекаются ли эти окружности?

4 см + 7 см = 11 см > 9 см.
Эти окружности пересекаются в двух точках.

Дано:

• Две точки $F$ и $A$, расстояние между ними — 9 см.
• Окружность с центром в точке $F$ и радиусом 4 см.
• Окружность с центром в точке $A$ и радиусом 7 см.

Что нужно определить:

Пересекаются ли эти две окружности?

Шаг 1. Понимание условий задачи и рисунок

• На плоскости отмечены две точки $F$ и $A$, расстояние между ними ровно 9 см.
• Из каждой из этих точек проводится окружность с заданными радиусами.
• Радиус окружности с центром $F$ равен 4 см.
• Радиус окружности с центром $A$ равен 7 см.

Шаг 2. Что значит пересечение окружностей?

Две окружности пересекаются, если между ними есть хотя бы одна общая точка.

Рассмотрим расстояние между центрами окружностей — $d=FA=9$ см.

Радиусы окружностей: $r_1=4$ см и $r_2=7$ см.

Шаг 3. Правила для расположения двух окружностей относительно друг друга

Для двух окружностей с центрами $F$ и $A$ и радиусами $r_1$ и $r_2$, расстояние между центрами — $d$, возможны следующие случаи:

1. Окружности не пересекаются и не касаются, если:

• $d>r_1+r_2$ — центры слишком далеко, окружности не пересекаются.

2. Окружности касаются внешним образом (одна точка пересечения):

• $d=r_1+r_2$ — окружности касаются внешним образом.

3. Окружности пересекаются в двух точках, если:

• $\mathrm{\mid }{r}_1-r_2\mathrm{\mid }<d<r_1+r_2$

4. Окружности касаются внутренним образом (одна точка пересечения, одна окружность внутри другой):

• $d=\mathrm{\mid }{r}_1-r_2\mathrm{\mid }$

5. Одна окружность полностью внутри другой без касания, если:

• $d<\mathrm{\mid }{r}_1-r_2\mathrm{\mid }$

Шаг 4. Применяем к нашим числам

• Сумма радиусов: $r_1+r_2=4+7=11$ см
• Разность радиусов: $\mathrm{\mid }{r}_1-r_2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }4-7\mathrm{\mid }=3$ см
• Расстояние между центрами: $d=9$ см

Теперь проверим условия:

• $d=9$ см больше разности радиусов $3$ см, значит окружности не вложены одна в другую.
• $d=9$ см меньше суммы радиусов $11$ см, значит они не слишком далеко, чтобы не пересекаться.

Итого:

$3<9<11$ — условие для пересечения в двух точках выполнено.

Шаг 5. Вывод

Поскольку расстояние между центрами окружностей (9 см) меньше суммы радиусов (11 см) и больше их разности (3 см), эти две окружности пересекаются ровно в двух точках.

Шаг 6. Дополнительная проверка (пояснение)

Если бы расстояние между центрами было ровно 11 см — окружности касались бы внешним образом, имели бы одну общую точку.

Если бы расстояние было меньше 3 см — одна окружность была бы полностью внутри другой и не пересекалась бы (если не касалась).

Итог

Окружности с центрами в точках F и A и радиусами 4 см и 7 см соответственно, расположенные на расстоянии 9 см друг от друга, пересекаются в двух точках.