ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 5.309 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

По рисунку 5.53 объясните равенство дробей
a) 3/4 = 15/20;
б) 7/8 = 14/16;
в) 4/7 = 8/14.

а) 3/4 = 15/20

Если разделить круг на 4 равные части и закрасить 3 из них, то получим, что закрашенная часть составляет 3/4
круга.
Теперь каждую четвёртую часть разделим на 5 равных частей. Получим, что круг теперь разделен на 20 одинаковых частей (4 ∙ 5 = 20), а закрашенных частей будет 15 (3 ∙ 5 = 15). Значит, закрашено 15/20 круга.
3/4 = 3 ∙ 5/4 ∙ 5 = 15/20

б)7/8 = 14/16

Если разделить круг на 8 равных частей и закрасить 7 из них, то получим, что закрашенная часть составляет 7/8 круга.
Теперь каждую восьмую часть разделим на 2 равные части. Получим, что круг теперь разделен на 16 одинаковых частей (8 ∙ 2 = 16), а закрашенных частей будет 14 (7 ∙ 2 = 14). Значит, закрашено 14/16 круга.
7/8 = 7 ∙ 2/8 ∙ 2 = 14/16

в) 4/7 = 8/14

Если разделить круг на 7 равных частей и закрасить 4 из них, то получим, что закрашенная часть составляет4-7 круга.
Теперь каждую седьмую часть разделим на 2 равные части. Получим, что круг теперь разделен на 14 одинаковых частей

(7 ∙ 2 = 14), а закрашенных частей будет 8 (4 ∙ 2 = 8). Значит, закрашено 8/14 круга.
4/7 = 4 ∙ 2/7 ∙ 2 = 8/14

а) $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$

1. Представление круга:
   Представим круг, который разделен на 4 равные части. Если закрасить 3 из этих частей, то закрашенная часть круга составляет $\frac{3}{4}$ круга. Таким образом, закрашенная часть представляет собой три четверти всего круга.
2. Разделение на большее количество частей:
   Теперь, чтобы изменить представление, каждую из этих 4 равных частей мы разделим на 5 равных частей. То есть, если раньше у нас было 4 части, то теперь каждую из них разделим на 5 частей. В результате, круг будет разделён на $4 \times 5 = 20$ равных частей.
3. Количество закрашенных частей:
   Изменим количество закрашенных частей в зависимости от того, сколько частей теперь в круге. Если раньше у нас было 3 закрашенных части из 4, то теперь, поскольку каждая из этих 4 частей разделена на 5 частей, количество закрашенных частей будет равно $3 \times 5 = 15$.
4. Закрашенная часть круга:
   Таким образом, закрашенная часть круга теперь составляет $\frac{15}{20}$. Теперь у нас есть равенство:

   $$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}.$$

Это объяснение показывает, что если мы увеличим количество частей в круге, пропорция закрашенных частей остаётся неизменной.

б) $\frac{7}{8} = \frac{14}{16}$

1. Представление круга:
   Разделим круг на 8 равных частей. Если закрасить 7 из этих частей, то закрашенная часть круга составляет $\frac{7}{8}$ круга. Это означает, что почти весь круг закрашен.
2. Разделение на большее количество частей:
   Теперь разделим каждую из 8 равных частей на 2 равные части. Получаем, что круг теперь разделён на $8 \times 2 = 16$ одинаковых частей.
3. Количество закрашенных частей:
   Закрашенные части также изменятся. Если раньше было 7 закрашенных частей, то теперь, после того как каждую часть разделили на 2, количество закрашенных частей составит $7 \times 2 = 14$.
4. Закрашенная часть круга:
   Теперь закрашенная часть круга составит $\frac{14}{16}$. Это даёт нам равенство:

   $$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 2}{8 \times 2} = \frac{14}{16}.$$

Это подтверждает, что пропорция закрашенных частей остаётся постоянной, даже если мы увеличиваем количество частей в круге.

в) $\frac{4}{7} = \frac{8}{14}$

1. Представление круга:
   Разделим круг на 7 равных частей. Если закрасить 4 из этих частей, то закрашенная часть круга составляет $\frac{4}{7}$.
2. Разделение на большее количество частей:
   Теперь разделим каждую из 7 равных частей на 2 равные части. Таким образом, круг теперь разделён на $7 \times 2 = 14$ равных частей.
3. Количество закрашенных частей:
   Изменим количество закрашенных частей. Если раньше было 4 закрашенные части, то теперь количество закрашенных частей составит $4 \times 2 = 8$.
4. Закрашенная часть круга:
   Закрашенная часть круга теперь составит $\frac{8}{14}$, что даёт следующее равенство:

   $$\frac{4}{7} = \frac{4 \times 2}{7 \times 2} = \frac{8}{14}.$$

Это подтверждает, что изменение количества частей в круге не изменяет пропорцию закрашенных частей.

Общее объяснение:

Во всех трёх примерах мы видим, как изменяется количество частей в круге, но пропорция закрашенных частей остаётся неизменной. Это возможно потому, что при увеличении количества частей (например, разделение каждой части на большее количество) количество закрашенных частей увеличивается пропорционально, сохраняя исходное соотношение.

Равенства вида:

$$\frac{3}{4} = \frac{15}{20}, \quad \frac{7}{8} = \frac{14}{16}, \quad \frac{4}{7} = \frac{8}{14}$$

показывают, что изменения в количестве частей пропорционально отражаются на числителе и знаменателе дроби, сохраняя общую пропорцию.