ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 5.21 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

а) Справедливы ли равенства:
13 + 23 = (1 + 2)2;
13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2;
13 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2?
б) Сформулируйте свойство, записанное этими равенствами.
в) Проверьте, выполняется ли это свойство для семи чисел.

а) 13+ 23 = 1 + 8= 9,
(1 + 2)2 = 32 = 9,
9 = 9 – справедливо;

13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36,
(1 + 2 + 3)2 = 62 = 36,
36 = 36 – справедливо;

13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100,
(1 + 2 + 3 + 4)2 = 102 = 100,
100 = 100 – справедливо.

б) сумма кубов первых натуральных чисел равна квадрату суммы этих чисел.

в) 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 = 784,
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)2 = 282 = 784,
784 = 784 – выполняется.

а) Проверим равенство для первых нескольких натуральных чисел:

Для числа 2:

• Вычислим сумму кубов первых двух чисел: 1³ + 2³.
• Подставим значения: 1³ = 1, 2³ = 8.
• Сумма: 1 + 8 = 9.
• Теперь вычислим квадрат суммы этих чисел: (1 + 2)² = 3² = 9.
• Сравним: 9 = 9 — равенство справедливо.

Для числа 3:

• Вычислим сумму кубов первых трёх чисел: 1³ + 2³ + 3³.
• Подставим значения: 1, 8, 27.
• Сумма: 1 + 8 + 27 = 36.
• Квадрат суммы первых трёх чисел: (1 + 2 + 3)² = 6² = 36.
• Сравним: 36 = 36 — равенство справедливо.

Для числа 4:

• Сумма кубов первых четырёх чисел: 1³ + 2³ + 3³ + 4³.
• Вычислим: 1 + 8 + 27 + 64 = 100.
• Квадрат суммы первых четырёх чисел: (1 + 2 + 3 + 4)² = 10² = 100.
• Сравним: 100 = 100 — равенство справедливо.

б) Обобщённое утверждение:

Сумма кубов первых n натуральных чисел равна квадрату суммы этих чисел.

Это означает, что для любого натурального числа n справедливо равенство:

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)²

Данное утверждение доказывает связь между суммой кубов и квадратом суммы чисел, что является важным свойством числовых последовательностей и используется во многих математических задачах.

в) Проверка для n = 7:

• Вычислим сумму кубов первых семи чисел:1³ = 1

  2³ = 8

  3³ = 27

  4³ = 64

  5³ = 125

  6³ = 216

  7³ = 343

• Сумма кубов: 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 = 784.
• Квадрат суммы первых семи чисел:Сумма чисел: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.

  Квадрат суммы: 28² = 784.

• Сравним: 784 = 784 — равенство выполняется.

Вывод: Для нескольких примеров (при n = 2, 3, 4, 7) проверка показала, что сумма кубов первых n натуральных чисел действительно равна квадрату суммы этих чисел. Это подтверждает общее математическое утверждение и демонстрирует его на практике.