ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 2 Номер 5.111 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Муравей бежит по куску дерева, имеющего форму куба. Как ему попасть из какой-либо вершины куба в противоположную (рис. 5.33) кратчайшим путем? Сколько таких путей существует?

Существует 6 путей:МВN; MCN; MAN; MTN; MON; MKN.

Ответ: 6 путей.

Шаг 1. Анализ задачи и постановка

• Куб имеет 8 вершин и 12 рёбер, все рёбра одинаковой длины.
• Кратчайший путь по рёбрам между двумя противоположными вершинами — это путь, который проходит минимальное количество рёбер.
• Противоположные вершины куба соединены через три рёбра (так как куб — трёхмерная фигура, расстояние между противоположными вершинами равно сумме трёх рёбер).

Шаг 2. Определение минимального количества шагов

• Чтобы добраться от одной вершины куба до противоположной, муравей должен пройти ровно 3 ребра, по одному в каждом из трёх измерений (длина, ширина, высота).
• Пример: если исходная вершина — $M$, то путь к противоположной вершине состоит из последовательного прохождения трёх рёбер.

Шаг 3. Возможные кратчайшие пути

• Поскольку муравей должен пройти ровно 3 ребра, и порядок прохождения этих рёбер может меняться, существует несколько различных маршрутов.
• Каждое ребро соответствует одному из трёх измерений (оси куба).
• Для трёх рёбер существует $3!=6$ возможных последовательностей прохождения, так как муравей может менять порядок прохождения этих трёх рёбер.

Шаг 4. Перечисление всех кратчайших путей

В условии указано 6 конкретных путей из вершины $M$ в противоположную вершину $N$:

1. $M\to B\to N$ (путь $MBN$)
2. $M\to C\to N$ (путь $MCN$)
3. $M\to A\to N$ (путь $MAN$)
4. $M\to T\to N$ (путь $MTN$)
5. $M\to O\to N$ (путь $MON$)
6. $M\to K\to N$ (путь $MKN$)

Каждый из этих путей содержит ровно три ребра и ведёт от исходной вершины $M$ к противоположной вершине $N$.

Шаг 5. Почему именно 6 путей?

• Каждый путь соответствует уникальному сочетанию трёх рёбер, проходящих по разным измерениям куба.
• Перестановки порядка прохождения рёбер дают различные маршруты.
• Именно поэтому существует 6 различных кратчайших путей.

Итог:

• Кратчайший путь муравья из вершины куба в противоположную вершину состоит из трёх рёбер.
• Всего таких путей существует 6, соответствующих перестановкам трёх рёбер.
• Эти пути обозначены как: $MBN,MCN,MAN,MTN,MON,MKN$.

Вывод:

Муравей может выбрать любой из шести путей, чтобы добраться до противоположной вершины куба кратчайшим путём, проходя ровно три ребра. Это демонстрирует комбинаторный характер задачи и геометрические свойства куба.