ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 443 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Назовите несколько свойств луча. Какие из этих свойств есть у прямой?

У луча есть начало, но нет конца. У прямой нет концов.

1. Точные определения и интуиция
Луч — это множество точек на прямой (или в пространстве), которое начинается в фиксированной точке $O$ (начало луча) и продолжается бесконечно в одном выбранном направлении. У луча ровно один «конец» в бытовом смысле — его начало $O$; далее он не обрывается.
Прямая — это бесконечная в обе стороны «линия» без какого-либо начала или конца: каждую её точку можно рассматривать как «середину», потому что по обе стороны от неё прямая простирается бесконечно.

2. Модели на координатной прямой и в векторной форме
На числовой прямой:
• Луч с началом в точке $a$ вправо: множество $\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge a\}$.
• Луч с началом в точке $a$ влево: множество $\{x\in\mathbb{R}\mid x\le a\}$.
• Прямая: множество $\mathbb{R}$ целиком (вся координатная ось), то есть она не имеет выделяемых концов.

В $\mathbb{R}^n$ удобны параметрические записи:
• Прямая через точку $\mathbf{p}$ в направлении ненулевого вектора $\mathbf{v}$: $L=\{\mathbf{p}+t\mathbf{v}\mid t\in\mathbb{R}\}$. Здесь параметр $t$ принимает все действительные значения — движение возможно бесконечно в обе стороны, поэтому концов нет.
• Луч с началом в $\mathbf{p}$ и направлением $\mathbf{v}$: $R=\{\mathbf{p}+t\mathbf{v}\mid t\ge 0\}$. Параметр $t$ ограничен снизу, поэтому точка $\mathbf{p}$ включена ($t=0$), а дальше множество «уходит» бесконечно в сторону $\mathbf{v}$.

3. Концевые точки и границы множеств
• У луча одна особая точка — начало $O$. Оно входит в луч (при $t=0$) и является его единственной концевой точкой; в противоположном направлении луч не продолжается.
• У прямой нет ни начала, ни конца: в любом направлении вдоль $\mathbf{v}$ можно отходить сколь угодно далеко, и ограничения на $t$ нет.
• Для контраста: отрезок $[\mathbf{p},\mathbf{q}]=\{\mathbf{p}+t(\mathbf{q}-\mathbf{p})\mid 0\le t\le 1\}$ имеет ровно две концевые точки — $\mathbf{p}$ и $\mathbf{q}$.

4. Протяжённость (длина) и ограниченность
• Луч бесконечен по длине и односторонне неограничен: в одну сторону упирается в начало, в другую — нет.
• Прямая бесконечна и двусторонне неограниченна: в обе стороны нет предела.
• Отрезок конечен и ограничен с двух сторон.

5. Направление и ориентация
• Луч всегда ориентирован: у него есть указанное направление от начала $O$.
• Прямая как геометрический объект направления «по умолчанию» не имеет; ориентацию можно ввести искусственно, выбрав направление вектора $\mathbf{v}$, но это не делает у прямой «концы».

6. Как выглядят на чертежах и что это означает
• Луч обычно рисуют как линию с отмеченной начальной точкой $O$, от которой в одну сторону идёт линия со стрелкой; стрелка подчёркивает бесконечность в этом направлении и отсутствие конца там.
• Прямую рисуют в виде линии со стрелками на обоих концах изображения (формально — бесконечно), без выделенных начальных/конечных точек; любые «края» на рисунке — лишь границы листа, а не геометрические концы.

7. Типичные примеры и связи с задачами
• Угол в элементарной геометрии задаётся двумя лучами с общим началом — вершиной угла. Важно именно «лучи», а не отрезки и не прямая: у каждого плеча есть общий старт (вершина) и бесконечное продолжение.
• Множества решений неравенств на оси: $x\ge a$ или $x\le a$ — это лучи (с включённой точкой $a$); $x\in\mathbb{R}$ — вся прямая; $a\le x\le b$ — отрезок.
• В планиметрии прямая делит плоскость на два полу­плоскости; луч задаёт «полупряму́ю» — одностороннюю бесконечность от одной опорной точки.

8. Частые ошибки и как их избежать
• Неверно считать, что луч «заканчивается стрелкой»: стрелка — только условный знак бесконечного продолжения.
• Нельзя путать луч и отрезок: у отрезка две концевые точки, у луча — одна.
• У прямой не бывает «краёв» или «концов» даже если она пересекается с рамками рисунка: это лишь ограничение изображения, а не объекта.

9. Краткая формулировка сути
У луча есть начало (одна концевая точка), но нет конца: он бесконечен в одном направлении. У прямой нет концов вовсе: она бесконечна в обе стороны и не имеет выделяемых начальных или конечных точек.