ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 435 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Докажите, что:
а) 20 * 30 < 23 * 35 < 30 * 40;
б) 600 * 800 < 645 * 871 < 700 * 900;
в) 1200 < 36 * 42 < 2000;
г) 45 000 < 94 * 563 < 60 000.

Решение a

20 * 30 < 23 * 35 < 30 * 40, так как 20 < 23 < 30 и 30 < 35 < 40.

Решение б

600 * 800 < 645 * 871 < 700 * 900, так как 600 < 645 < 700 и 800 < 871 < 900.

Решение в

1200 = 30 * 40 < 36 * 42 < 2000 = 40 * 50.

Решение г

Принцип. Для положительных чисел верно: если $x_1<x_2$ и $y>0$, то $x_1y<x_2y$ (умножение на положительное число сохраняет знак неравенства). Чтобы сравнить произведения с двумя изменяющимися множителями, удобно «переходить» по цепочке из двух шагов: сначала меняем один множитель (сохраняется знак), затем — второй. Например, при $a<b$ и $c<d$ (все величины положительны) имеем $ac<ad$ (потому что $c<d$), а затем $ad<bd$ (потому что $a<b$); значит, $ac<bd$.

а) Доказать: $20\cdot30<23\cdot35<30\cdot40$.

Нижняя оценка $20\cdot30<23\cdot35$:

1. так как $30<35$ и $20>0$, то $20\cdot30<20\cdot35$;
2. так как $20<23$ и $35>0$, то $20\cdot35<23\cdot35$.
   Следовательно, $20\cdot30<23\cdot35$.

Верхняя оценка $23\cdot35<30\cdot40$:

1. так как $23<30$ и $35>0$, то $23\cdot35<30\cdot35$;
2. так как $35<40$ и $30>0$, то $30\cdot35<30\cdot40$.
   Значит, $23\cdot35<30\cdot40$.

Числовая проверка: $20\cdot30=600$, $23\cdot35=23\cdot(30+5)=690+115=805$, $30\cdot40=1200$. Действительно, $600<805<1200$.

б) Доказать: $600\cdot800<645\cdot871<700\cdot900$.

Нижняя оценка $600\cdot800<645\cdot871$:

1. $600<645$ и $800>0$ $\Rightarrow$ $600\cdot800<645\cdot800$;
2. $800<871$ и $645>0$ $\Rightarrow$ $645\cdot800<645\cdot871$.
   Следовательно, $600\cdot800<645\cdot871$.

Верхняя оценка $645\cdot871<700\cdot900$:

1. $645<700$ и $871>0$ $\Rightarrow$ $645\cdot871<700\cdot871$;
2. $871<900$ и $700>0$ $\Rightarrow$ $700\cdot871<700\cdot900$.
   Значит, $645\cdot871<700\cdot900$.

Числовая проверка: $600\cdot800=480\,000$. $645\cdot871=645\cdot(800+70+1)=516\,000+45\,150+645=561\,795$. $700\cdot900=630\,000$. Имеем $480\,000<561\,795<630\,000$.

в) Доказать: $30\cdot40=1200<36\cdot42<40\cdot50=2000$.

Нижняя оценка $30\cdot40<36\cdot42$:

1. $30<36$, $40>0$ $\Rightarrow$ $30\cdot40<36\cdot40$;
2. $40<42$, $36>0$ $\Rightarrow$ $36\cdot40<36\cdot42$.
   Значит, $30\cdot40<36\cdot42$.

Верхняя оценка $36\cdot42<40\cdot50$:

1. $36<40$, $42>0$ $\Rightarrow$ $36\cdot42<40\cdot42$;
2. $42<50$, $40>0$ $\Rightarrow$ $40\cdot42<40\cdot50$.
   Следовательно, $36\cdot42<40\cdot50$.

Числовая проверка: $36\cdot42=(30+6)(40+2)=1200+60+240+12=1512$. Действительно, $1200<1512<2000$.

г) Доказать: $90\cdot500=45\,000<94\cdot563<100\cdot600=60\,000$.

Нижняя оценка $90\cdot500<94\cdot563$:

1. $90<94$, $500>0$ $\Rightarrow$ $90\cdot500<94\cdot500$;
2. $500<563$, $94>0$ $\Rightarrow$ $94\cdot500<94\cdot563$.
   Значит, $90\cdot500<94\cdot563$.

Верхняя оценка $94\cdot563<100\cdot600$:

1. $94<100$, $563>0$ $\Rightarrow$ $94\cdot563<100\cdot563$;
2. $563<600$, $100>0$ $\Rightarrow$ $100\cdot563<100\cdot600$.
   Следовательно, $94\cdot563<100\cdot600$.

Числовая проверка: $94\cdot563=563\cdot(100-6)=56\,300-3\,378=52\,922$. И действительно, $45\,000<52\,922<60\,000$.

Итог. Во всех четырёх пунктах неравенства получаются применением монотонности умножения на положительное число и «двухшаговой» цепочки: последовательно увеличиваем один множитель, затем второй (или наоборот), что обеспечивает строгие неравенства.