ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 433 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Какое из произведений больше: 67 * 2 или 67 * 3? Объясните, почему это так. Объясните, почему 190 * 8 < 195 * 12. Сделайте вывод.

67 * 2 < 67 * 3, так как 3 > 2.
190 * 8 < 195 * 12, так как 195 > 190 и 12 > 8.
Если в двух произведениях есть одинаковые множители, то сравнивать произведения можно по величине оставшихся множителей, отбросив одинаковые.

1. Сравнение $67\cdot 2$ и $67\cdot 3$ через общий множитель
Оба произведения имеют общий множитель $67$, причём $67>0$. Для положительного общего множителя верно: если $a<b$ и $c>0$, то $ac<bc$. Здесь $2<3$, значит $67\cdot 2<67\cdot 3$.
Эквивалентное доказательство «через разность»:
$(67\cdot 3)-(67\cdot 2)=67\cdot (3-2)=67>0\Rightarrow 67\cdot 2<67\cdot 3$.

2. Сравнение $190\cdot 8$ и $195\cdot 12$ по шагам (монотонность и транзитивность)
Все числа положительные, поэтому умножение на большее положительное число увеличивает произведение.

Шаг 1. Увеличим первый множитель у левой пары до $195$:
так как $195>190$ и $8>0$, то $190\cdot 8<195\cdot 8$.

Шаг 2. Теперь увеличим второй множитель у правой пары до $12$:
так как $12>8$ и $195>0$, то $195\cdot 8<195\cdot 12$.

Транзитивно получаем: $190\cdot 8<195\cdot 8<195\cdot 12\Rightarrow 190\cdot 8<195\cdot 12$.

Альтернативные эквивалентные проверки:

• Через разность:
  $(195\cdot 12)-(190\cdot 8)=(195-190)\cdot 12+190\cdot (12-8)=5\cdot 12+190\cdot 4$

$=60+760=820>0\Rightarrow 190\cdot 8<195\cdot 12$.

• Через отношение:
  ${\displaystyle \frac{195\cdot 12}{190\cdot 8}}={\displaystyle \frac{195}{190}}\cdot {\displaystyle \frac{12}{8}}={\displaystyle \frac{39}{38}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{117}{76}}>1\Rightarrow 195\cdot 12>190\cdot 8$.

3. Общее правило про «отбрасывание одинаковых множителей» (с оговорками)
Если два произведения имеют общий множитель $c$, то:

• При $c>0$: $ac<bc⟺a<b$, $ac=bc⟺a=b$, $ac>bc⟺a>b$.
  Это и есть строгое обоснование «можно сравнивать по оставшимся множителям, отбросив общий положительный множитель».
• При $c<0$: знак неравенства меняется на противоположный, то есть $ac<bc⟺a>b$.
  Поэтому «механически отбрасывать» общий множитель допустимо только после учёта его знака.
• При $c=0$: оба произведения равны нулю, сравнивать бессмысленно (они равны).

Короткий контрпример необходимости оговорки про знак:
сравним $(-5)\cdot 2$ и $(-5)\cdot 3$. Если «отбросить $-5$» как бы положительный, получим $2<3$, но на самом деле $-10>-15$. Правило сохраняется, если помнить: при отрицательном общем множителе знак неравенства переворачивается.

4. Практические приёмы сравнения произведений положительных чисел

• Если есть общий положительный множитель, «сократите» его и сравните оставшиеся множители.
• Если общих множителей нет, удобно:
  1. построить цепочку увеличений/уменьшений одного множителя при фиксированном другом (как в п. 2),
  2. сравнить разность $bd-ac$ на знак,
  3. сравнить отношение ${\displaystyle \frac{bd}{ac}}$ с $1$.

Итоговые формулировки
$67\cdot 2<67\cdot 3$, так как общий множитель $67>0$ и $2<3$.
$190\cdot 8<195\cdot 12$, так как последовательно увеличиваем сначала первый множитель ($195>190$), затем второй ($12>8$), сохраняя положительность; эквивалентно, разность $820>0$.
Правило: если в двух произведениях есть одинаковый положительный множитель, то произведения сравнивают по оставшимся множителям; при отрицательном общем множителе знак неравенства меняется.