ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 325 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

На отрезке CD отмечены точки М и N так, что точка М лежит между точками С и N. Найдите:
а) длину отрезка CD, если СМ = 15 см, MN больше СМ на 6 см, а СМ меньше ND на 4 см;
б) длину отрезка ND, если CD = 34 см, СМ = 13 см, a MN меньше СМ на 5 см;
в) длину отрезка МD, если CD = 33 см, CN = 20 см, MD = 21 см.

Решение a

MN = 15 + 6 = 21 см, ND = 15 + 4 = 19 см, CD = 15 + 21 + 19 = 55 см.

Решение б

MN = 13 − 5 = 8 см, ND = 34 − (13 + 8) = 34 − 21 = 13 см.

Решение в

Решение a

1. Зафиксируем взаимное расположение точек на прямой: $C$ — левее, затем $M$, затем $N$, затем $D$. Условие «точка $M$ лежит между точками $C$ и $N$» означает, что при движении от $C$ к $D$ отрезок $CD$ раскладывается на три подряд идущих отрезка: $CM$, затем $MN$, затем $ND$. Следовательно, по аксиоме сложения отрезков имеем базовую формулу длины целого отрезка через суммы частей: $CD=CM+MN+ND$.
2. Подставим численные соотношения из условия. Дано $CM=15$ см. Фраза «$MN$ больше $CM$ на 6 см» переводится в равенство $MN=CM+6$, то есть $MN=15+6=21$ см. Фраза «$CM$ меньше $ND$ на 4 см» означает, что $ND$ на 4 см больше $CM$, то есть $ND=CM+4=15+4=19$ см.
3. Найдём длину всего отрезка $CD$ как сумму последовательно расположенных частей: $CD=CM+MN+ND=15+21+19=55$ см.
4. Контроль внутренней согласованности (не обязателен, но полезен для полной уверенности). Промежуточные большие подпроёмки: $CN=CM+MN=15+21=36$ см, $MD=MN+ND=21+19=40$ см. Проверка «части составляют целое»: $CM+MN+ND=15+21+19=55$ см, совпадает с найденным $CD$, следовательно вычисления согласованы.

Итог для a: $CD=55$ см; при этом $MN=21$ см, $ND=19$ см, $CN=36$ см, $MD=40$ см (последние три величины приведены для полноты картины).

Решение б

1. Геометрическая схема та же: $C\!-\!M\!-\!N\!-\!D$, поэтому базовая формула суммы вдоль прямой остаётся $CD=CM+MN+ND$.
2. Дано $CD=34$ см и $CM=13$ см. Фраза «$MN$ меньше $CM$ на 5 см» означает $MN=CM-5$. Вычислим: $MN=13-5=8$ см.
3. Выразим искомый $ND$ из суммы: $ND=CD-(CM+MN)$. Подставим числа: $ND=34-(13+8)=34-21=13$ см.
4. Контроль согласованности. Сумма первых двух участков $CM+MN=13+8=21$ см; тогда $CN=21$ см, а «хвост» $MD=MN+ND=8+13=21$ см. Проверка целого: $CN+ND=21+13=34=CD$ и $CM+MN+ND=13+8+13=34=CD$.

Итог для б: $ND=13$ см; при этом $MN=8$ см, $CN=21$ см, $MD=21$ см (для полноты и проверки).

Решение в

1. В этой подзадаче удобно использовать тождество, вытекающее из разложения отрезка по схеме $C\!-\!M\!-\!N\!-\!D$. Заметим, что $CN=CM+MN$, $MD=MN+ND$, а $CD=CM+MN+ND$. Сложим $CN$ и $MD$: $CN+MD=(CM+MN)+(MN+ND)=CM+2MN+ND$. С другой стороны, $CD+MN=(CM+MN+ND)+MN=CM+2MN+ND$. Следовательно, верно тождество $CN+MD=CD+MN$ для любых положительных длин при порядке $C\!-\!M\!-\!N\!-\!D$.
2. Из тождества сразу выражается неизвестный $MN$: $MN=CN+MD-CD$. Подставляем заданные численные значения $CN=20$ см, $MD=21$ см, $CD=33$ см и находим $MN=20+21-33=41-33=8$ см.
3. Убедимся в согласованности всех звеньев (полезная проверка). Сначала найдём $ND$ как «хвост» от $N$ до $D$: $ND=CD-CN=33-20=13$ см. Затем восстановим $CM$ как «голову» от $C$ до $M$: $CM=CN-MN=20-8=12$ см. Теперь сумма подряд идущих частей даёт полную длину: $CM+MN+ND=12+8+13=33=CD$, а также $MD=MN+ND=8+13=21$ см, что совпадает с данными.

Итог для в: $MN=8$ см; дополнительно $ND=13$ см, $CM=12$ см, и проверка даёт $MD=21$ см, $CD=33$ см.