ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 217 Мнемозина Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Существует ли натуральное число, которое равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел?

Да, существует: 1 + 2 = 3.

Задача заключается в том, чтобы узнать, существует ли натуральное число, которое равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел.

Предположим, что существует такое натуральное число $n$, которое равно сумме всех предшествующих ему чисел. Тогда можно записать следующее равенство:

$$n = 1 + 2 + 3 + \dots + (n-1)$$

Сумма всех чисел от 1 до $n-1$ является арифметической прогрессией, сумма которой вычисляется по формуле:

$$S = \frac{(n-1) \cdot n}{2}$$

Таким образом, получаем уравнение:

$$n = \frac{(n-1) \cdot n}{2}$$

Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$2n = (n-1) \cdot n$$

Раскроем скобки:

$$2n = n^2 — n$$

Переносим все в одну сторону:

$$n^2 — 3n = 0$$

Выносим $n$ за скобки:

$$n(n — 3) = 0$$

Таким образом, у нас есть два возможных решения:

$$n = 0 \quad \text{или} \quad n = 3$$

Однако, по условию задачи, $n$ должно быть натуральным числом. Натуральные числа начинаются с 1, и 0 не является натуральным числом, поэтому $n = 0$ не подходит.

Оставшееся решение — $n = 3$.

Проверка

Если $n = 3$, то сумма всех чисел, предшествующих 3, это:

$$1 + 2 = 3$$

Таким образом, $n = 3$ действительно равно сумме всех предшествующих ему чисел.

Ответ

Да, существует натуральное число, которое равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел, и это число $3$.