ГДЗ по Математике 5 Класс Часть 1 Номер 4.160 Виленкин, Жохов — Подробные Ответы

Прямоугольный параллелепипед (рис.) состоит из двух частей.
а) Вычислите объём параллелепипеда и его частей. Равны ли площади поверхности параллелепипеда, и сумма площадей поверхностей его частей?
б) Вычислите площадь поверхности параллелепипеда и его частей. Равны ли площади поверхности параллелепипеда и его частей? Объясните почему.

а) 1) 10 · 12 · 7 = 120 · 7 = 840 (см³) – объем параллелепипеда;
2) 10 · 8 · 7 = 10 · 56 = 560 (см³) – объем фиолетовой части;
3) 10 · 4 · 7 = 10 · 28 = 280 (см³) – объем зеленой части;
4) 560 + 280 = 840 (см³) – общий объем зеленой и фиолетовой частей;
840 см³ = 840 см³ – объем параллелепипеда равен сумме объемов его частей.

б) 1) 2 · (10 · 12 + 12 · 7 + 10 · 7) = 2 · (120 + 84 + 70) = 2 · 274 = 548 (см²) – площадь поверхностей параллелепипеда;
2) 2 · (10 · 8 + 8 · 7 + 10 · 7) = 2 · (80 + 56 + 70) = 2 · 206 = 412 (см²) – площадь поверхности фиолетовой части;
3) 2 · (10 · 4 + 4 · 7 + 10 · 7) = 2 · (40 + 28 + 70) = 2 · 138 = 276 (см²) – площадь поверхности зеленой части;
4) 412 + 276 = 688 (см²) – общая площадь зеленой и фиолетовой частей;
5) 548 см² < 688 см² – сумма площадей частей параллелепипеда больше площади самого параллелепипеда.

Площадь параллелепипеда не равна сумме площадей его частей, так как площади поверхностей соприкосновения двух частей не должны считаться в общую площадь параллелепипеда.

а) Объём параллелепипеда и его частей

1. Вычислим объём всего параллелепипеда с размерами 10 см, 12 см и 7 см. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты.

Подставляем значения:

10 · 12 · 7 = 120 · 7 = 840 (см³).

Это объём всего параллелепипеда.

2. Рассчитаем объём фиолетовой части с размерами 10 см, 8 см и 7 см:

10 · 8 · 7 = 10 · 56 = 560 (см³).

Это объём фиолетовой части.

3. Найдём объём зелёной части с размерами 10 см, 4 см и 7 см:

10 · 4 · 7 = 10 · 28 = 280 (см³).

Это объём зелёной части.

4. Сложим объёмы зелёной и фиолетовой частей:

560 + 280 = 840 (см³).

Таким образом, объём всего параллелепипеда равен сумме объёмов его частей. Это подтверждает, что параллелепипед разбит на части без наложений и пустот.

б) Площадь поверхности параллелепипеда и его частей

1. Площадь поверхности всего параллелепипеда с размерами 10 см, 12 см и 7 см вычисляется по формуле:

S = 2 · (ab + bc + ac),

где a, b, c — длина, ширина и высота.

Подставляем значения:

2 · (10·12 + 12·7 + 10·7) = 2 · (120 + 84 + 70) = 2 · 274 = 548 (см²).

Это площадь поверхности всего параллелепипеда.

2. Рассчитаем площадь поверхности фиолетовой части с размерами 10 см, 8 см и 7 см:

2 · (10·8 + 8·7 + 10·7) = 2 · (80 + 56 + 70) = 2 · 206 = 412 (см²).

Это площадь поверхности фиолетовой части.

3. Аналогично найдём площадь поверхности зелёной части с размерами 10 см, 4 см и 7 см:

2 · (10·4 + 4·7 + 10·7) = 2 · (40 + 28 + 70) = 2 · 138 = 276 (см²).

Это площадь поверхности зелёной части.

4. Сложим площади зелёной и фиолетовой частей:

412 + 276 = 688 (см²).

5. Сравним площадь поверхности всего параллелепипеда с суммой площадей частей:

548 см² < 688 см².

Сумма площадей поверхностей частей больше площади поверхности исходного параллелепипеда.

Почему так происходит?

При разбиении параллелепипеда на две части внутренняя грань разреза учитывается в площади каждой части. При сложении площадей частей эта внутренняя поверхность считается дважды. В то время как площадь поверхности исходного параллелепипеда включает только внешние грани и не учитывает внутренние поверхности разреза.

Вывод

Объём параллелепипеда равен сумме объёмов его частей, поскольку объёмы складываются без перекрытий. Однако площадь поверхности целого параллелепипеда меньше суммы площадей частей из-за двойного учёта внутренней поверхности разреза в площади частей.