ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Задания для самопроверки Параграф 9 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

1. Укажите верные высказывания.
1) Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.
2) Две прямые в плоскости, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.
135
3) Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллельными.
4) Если два отрезка не пересекаются, то они параллельны.

2. Укажите перпендикулярные прямые.

3. Какие из отрезков, изображённых на рисунке, перпендикулярны?
136

4. Укажите пары параллельных прямых.

5. Установите соответствие между каждой точкой координатной плоскости и её координатами.

6. Укажите неверные высказывания.
1) Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью.
2) Точку пересечения двух перпендикулярных координатных прямых называют началом координат.
3) Координатную прямую \(x\) называют осью ординат.
4) Координатную прямую \(y\) называют осью абсцисс.

7. На рисунке изображён график изменения температуры воздуха в течение суток. По вертикали указана температура воздуха в градусах Цельсия, по горизонтали время суток. На сколько градусов повысилась температура с 8 ч до 16 ч?

8. На уроке физкультуры учащиеся сдавали норматив по подтягиванию. Норматив считался сданным, если ученик подтянулся не менее 15 раз. Сколько учащихся сдали норматив по подтягиванию, если по горизонтали показано количество подтягиваний, а по вертикали количество учащихся?

9. Пятиклассников попросили назвать один из видов спорта для занятий по выбору. На диаграмме показано распределение выбора учащихся. Какой вид спорта оказался вторым по популярности выбора?

10. На графике приведена зависимость между возрастом дерева и его средней высотой. По горизонтальной оси откладывается возраст дерева в годах, по вертикальной его средняя высота в сантиметрах. По графику определите, через сколько лет высота дерева будет равна 130 см.

№ 1.

1) Верно: если при пересечении двух прямых образуются прямые углы \(90^\circ\), то прямые перпендикулярны.
2) Неверно: две прямые, перпендикулярные третьей, на плоскости параллельны, а не перпендикулярны.
3) Верно: непересекающиеся прямые в плоскости называют параллельными.
4) Неверно: непересекающиеся отрезки могут лежать на непараллельных прямых.

Верные высказывания: 1) и 3).

№ 2.

Перпендикулярные прямые: 3) (по рисунку выбран вариант, где угол между прямыми \(90^\circ\)).

Ответ: 3).

№ 3.

Перпендикулярны те отрезки, которые образуют прямой угол \(90^\circ\); на рисунке это \(MK\) и \(CD\).

Ответ: \(MK \perp CD\).

№ 4.

Параллельные прямые — те, которые не пересекаются; на рисунке это пары \(b \parallel d\) и \(a \parallel m\).

Ответ: \(b \parallel d,\ a \parallel m\).

№ 5.

По расположению точек на координатной плоскости (знак \(x\) — вправо/влево от \(0\), знак \(y\) — выше/ниже \(0\)) получаем:

Ответ: \(A(-3;0),\ B(2;-1),\ C(-1;2),\ D(0;-3)\).
6. Неверные высказывания: 3) и 4), так как ось \(x\) — это ось абсцисс, а ось \(y\) — ось ординат.

7. В \(8\) ч было \(19^\circ\text{C}\), в \(16\) ч стало \(28^\circ\text{C}\), повышение \(28-19=9^\circ\text{C}\). Ответ: на \(9^\circ\text{C}\).

8. Сдали норматив те, кто подтянулся не менее \(15\) раз: \(16\) человек (от \(15\) до \(24\)) \(+\) \(4\) человека (от \(25\) до \(40\)) \(+\) \(1\) человек (более \(40\)), всего \(16+4+1=21\). Ответ: \(21\) учащийся.

9. Вторым по популярности оказался футбол. Ответ: футбол.

10. По графику высота \(130\) см достигается через \(2{,}5\) года. Ответ: \(2{,}5\) года.

1.

1) Две прямые называют перпендикулярными, если при их пересечении образуется прямой угол. Прямой угол — это угол величиной \(90^\circ\), поэтому формулировка «образующие при пересечении прямые углы» как раз описывает ситуацию, когда один из углов равен \(90^\circ\) (а тогда и остальные углы при пересечении тоже определяются как \(90^\circ\) и \(180^\circ-90^\circ=90^\circ\)).

Следовательно, утверждение 1) верно: если при пересечении получаются прямые углы \(90^\circ\), то по определению прямые перпендикулярны.

2) Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей, то каждая из них образует с этой третьей прямой угол \(90^\circ\). В такой ситуации эти две прямые «направлены одинаково» относительно третьей: они не пересекаются, потому что иначе образовали бы с третьей разные углы.

По известному свойству плоскости: две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны. Значит, утверждение 2) неверно, потому что там сказано «перпендикулярны», а должно быть «параллельны».

3) Параллельными на плоскости называют прямые, которые не пересекаются (то есть не имеют общих точек). Здесь ключевое — речь именно о прямых в одной плоскости: тогда «непересекающиеся» равнозначно «параллельные».

Поэтому утверждение 3) верно: две непересекающиеся прямые на плоскости — параллельные.

4) Отрезки — это части прямых, и то, что два отрезка не пересекаются, ещё не означает параллельность. Например, два отрезка могут лежать на пересекающихся прямых, но быть расположены так, что сами отрезки до точки пересечения не доходят и общих точек не имеют.

Значит, из «два отрезка не пересекаются» не следует «они параллельны», поэтому утверждение 4) неверно.

Верные высказывания: 1) и 3).

2.

Перпендикулярные прямые на рисунке — это те, которые пересекаются и образуют угол \(90^\circ\). Проверка делается визуально по отметке прямого угла (квадратик в вершине) или по виду «как оси координат»: одна прямая вертикальна, другая горизонтальна.

В представленном наборе вариантов только в варианте 3) изображены две прямые, пересекающиеся под прямым углом \(90^\circ\). Поэтому выбирается именно этот вариант.

Ответ: 3).

3.

Чтобы определить перпендикулярные отрезки на рисунке, нужно найти пару отрезков, которые пересекаются (или имеют общую точку) и образуют при этом прямой угол \(90^\circ\). В таких задачах обычно видно «угол-уголок» между отрезками либо один отрезок идёт «вверх-вниз», а другой «влево-вправо» относительно точки пересечения.

На данном рисунке отрезки \(MK\) и \(CD\) расположены так, что при их пересечении образуется прямой угол \(90^\circ\). Остальные пары либо не пересекаются, либо пересекаются, но дают не прямой угол.

Ответ: \(MK \perp CD\).

4.

Параллельные прямые — это прямые на плоскости, которые не пересекаются, то есть сколько бы их ни продолжали в обе стороны, общих точек они не имеют. На рисунке это обычно видно по одинаковому направлению: прямые «идут рядом» и сохраняют одно и то же расстояние между собой.

По изображению видно, что прямые \(b\) и \(d\) имеют одинаковый наклон и не пересекаются, значит, \(b \parallel d\). Аналогично прямые \(a\) и \(m\) тоже имеют одинаковое направление и не пересекаются, значит, \(a \parallel m\).

Ответ: \(b \parallel d,\ a \parallel m\).

5.

Чтобы сопоставить точки и координаты, смотрят на положение точки относительно осей: координата \(x\) показывает смещение вправо (если \(x>0\)) или влево (если \(x<0\)) от оси \(Oy\), а координата \(y\) показывает смещение вверх (если \(y>0\)) или вниз (если \(y<0\)) от оси \(Ox\). Если точка лежит на оси \(Ox\), то \(y=0\); если на оси \(Oy\), то \(x=0\).

Точка \(A\) лежит на оси \(Ox\) слева от нуля на 3 единицы, значит \(x=-3\) и \(y=0\), то есть \(A(-3;0)\). Точка \(B\) расположена в IV четверти: вправо на 2 и вниз на 1, значит \(B(2;-1)\). Точка \(C\) в II четверти: влево на 1 и вверх на 2, значит \(C(-1;2)\). Точка \(D\) на оси \(Oy\) ниже нуля на 3, значит \(x=0\) и \(y=-3\), то есть \(D(0;-3)\).

Ответ: \(A(-3;0),\ B(2;-1),\ C(-1;2),\ D(0;-3)\).
6.

В системе координат на плоскости выбирают две взаимно перпендикулярные прямые, которые пересекаются в одной точке. Эта плоскость с выбранными осями и называется координатной плоскостью, поэтому высказывание 1) верное: оно правильно описывает, что координатная плоскость — это плоскость, на которой выбрана система координат.

Точка пересечения двух перпендикулярных координатных прямых является общей для обеих осей и служит точкой отсчета для всех координат. Поэтому высказывание 2) тоже верное: эта точка называется началом координат.

Координатная прямая \(x\) — это ось, по которой откладывают значения \(x\), и она называется осью абсцисс, а не ординат. Следовательно, высказывание 3) неверное, потому что в нем перепутано название оси: ось \(x\) ошибочно названа осью ординат.

Координатная прямая \(y\) — это ось, по которой откладывают значения \(y\), и она называется осью ординат, а не абсцисс. Поэтому высказывание 4) неверное: в нем ось \(y\) ошибочно названа осью абсцисс. Ответ: неверные высказывания 3) и 4).

7.

По графику нужно считать температуру в два указанных момента времени: в \(8\) часов и в \(16\) часов. В задаче эти значения уже определены по графику: в \(8\) ч температура равна \(19^\circ\text{C}\), а в \(16\) ч температура равна \(28^\circ\text{C}\).

Повышение температуры — это разность «стало минус было», потому что так мы находим, на сколько единиц выросло значение. Поэтому вычисляем \(28-19=9\), то есть температура увеличилась на \(9^\circ\text{C}\). Ответ: на \(9^\circ\text{C}\).

8.

Норматив считается сданным, если ученик подтянулся не менее \(15\) раз, то есть подходят все результаты \(15\) и больше. По диаграмме (распределению) видно, сколько учащихся попало в каждый подходящий интервал: от \(15\) до \(24\) раз — \(16\) человек; от \(25\) до \(40\) раз — \(4\) человека; более \(40\) раз — \(1\) человек.

Чтобы найти общее число сдавших норматив, нужно сложить количества во всех подходящих группах, потому что это разные учащиеся, и каждый учитывается ровно один раз в своей группе. Складываем \(16+4+1=21\). Ответ: \(21\) учащийся.

9.

На круговой (или столбчатой) диаграмме «второй по популярности» означает вариант спорта, который по числу выборов уступает только самому популярному варианту и при этом больше всех остальных. Поэтому нужно сравнить размеры секторов (или высоты столбцов) и выбрать тот, который занимает второе место.

По диаграмме вторым по величине оказался вариант «футбол»: его доля меньше самой большой, но больше остальных. Следовательно, вторым по популярности выбора является футбол. Ответ: футбол.

10.

По графику зависимости высоты от возраста нужно найти, при каком возрасте высота достигает \(130\) см. Для этого на вертикальной оси отмечают значение \(130\) см, затем мысленно проводят горизонталь до пересечения с графиком, а из точки пересечения опускают проекцию на горизонтальную ось возраста.

Из чтения графика получается, что высота \(130\) см соответствует возрасту \(2{,}5\) года. Значит, дерево достигнет высоты \(130\) см через \(2{,}5\) года. Ответ: \(2{,}5\) года.