ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Задания для самопроверки Итоговое Повторение Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

1. Запишите номера выражений в порядке возрастания их значений.
1) \((2\frac{1}{6}-3)\cdot0{,}12\);
2) \((0{,}5-0{,}23):(-3)\);
3) \((\frac{3}{5}-\frac{2}{3}):1\frac{1}{5}\).

2. Найдите наибольший общий делитель чисел 108, 144 и 216.

3. Найдите наименьшее общее кратное чисел 48, 72 и 96.

4. Какую часть часа составляют 18 минут?

5. Какое число лежит на числовом луче между числами 0,1 и 0,2?
а) \(\frac{2}{25}\); б) \(\frac{3}{20}\); в) \(\frac{2}{5}\); г) \(\frac{1}{4}\).

6. Один рабочий может сделать заказ за 6 дней, а другой за 8 дней. Какая часть заказа останется невыполненной после их совместной работы за один день?
а) \(\frac{17}{24}\); б) \(\frac{7}{24}\); в) \(\frac{6}{7}\); г) \(\frac{13}{14}\).

7. Укажите верные неравенства.
а) \(-363:(-5{,}5)<0\);
б) \(1{,}8\cdot(-45)<0\);
в) \(\frac{7{,}8}{-8{,}7}<1\);
г) \(\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{1}{2}<-1\).

8. Решите уравнение \(10-6x=12-x\).

9. Для отливки колоколов используют «колокольную» бронзу, которая содержит 20% олова и 80% меди. Какую часть сплава составляет олово?

10. В парке высадили молодые деревья. Из них не принялись 20% всех саженцев. Сколько было высажено деревьев, если принялось 120 саженцев?

1. \(1)\ (2\frac{1}{6}-3)\cdot0{,}12=\left(\frac{13}{6}-\frac{18}{6}\right)\cdot0{,}12=\left(-\frac{5}{6}\right)\cdot0{,}12=-0{,}1\), \(2)\ (0{,}5-0{,}23):(-3)=0{,}27:(-3)=-0{,}09\), \(3)\ \left(\frac{3}{5}-\frac{2}{3}\right):1\frac{1}{5}=\left(\frac{9}{15}-\frac{10}{15}\right):\frac{6}{5}=\left(-\frac{1}{15}\right)\cdot\frac{5}{6}=-\frac{1}{18}\); \(-0{,}1<-0{,}09<-\frac{1}{18}\), значит \(1),\ 2),\ 3)\).

2. \(108=2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\), \(144=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\), \(216=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\); общие множители \(2\cdot2\cdot3\cdot3=36\), значит НОД \(=36\).

3. \(48=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\), \(72=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\), \(96=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\); берём максимальные степени \(2^5\) и \(3^2\): НОК \(=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3=288\).

4. \(\frac{18}{60}=\frac{3}{10}=0{,}3\) часть.

5. \(0{,}1<x<0{,}2\), проверка вариантов: \(\frac{2}{25}=0{,}08\), \(\frac{3}{20}=0{,}15\), \(\frac{2}{5}=0{,}4\), \(\frac{1}{4}=0{,}25\); подходит б) \(\frac{3}{20}\).
6. За день первый выполняет \( \frac{1}{6} \) заказа, второй \( \frac{1}{8} \) заказа, вместе \( \frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{4}{24}+\frac{3}{24}=\frac{7}{24} \) заказа; останется \( 1-\frac{7}{24}=\frac{17}{24} \). Ответ: а) \( \frac{17}{24} \).

7. а) \(-363:(-5{,}5)>0\), значит \(-363:(-5{,}5)<0\) неверно; б) \(1{,}8\cdot(-45)<0\) верно; в) \(\frac{7{,}8}{-8{,}7}<0\), значит \(\frac{7{,}8}{-8{,}7}<1\) верно; г) \(\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}\), а \(-\frac{1}{3}<-1\) неверно. Ответ: б) и в).

8. \(10-6x=12-x\Rightarrow -6x+x=12-10\Rightarrow -5x=2\Rightarrow x=-\frac{2}{5}=-0{,}4\). Ответ: \(x=-0{,}4\).

9. \(20\%=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}=0{,}2\). Ответ: \(0{,}2\) часть.

10. Принялось \(100\%-20\%=80\%=0{,}8\) всех саженцев; всего было \(120:0{,}8=150\). Ответ: 150 деревьев.

1. Сначала вычислим каждое выражение, чтобы сравнивать уже готовые числа. В выражении \(1)\ (2\frac{1}{6}-3)\cdot0{,}12\) удобно перейти к неправильной дроби: \(2\frac{1}{6}=\frac{13}{6}\), а число \(3=\frac{18}{6}\). Тогда разность равна \(\frac{13}{6}-\frac{18}{6}=-\frac{5}{6}\), и остаётся умножить на десятичную дробь \(0{,}12\).

Умножение: \(\left(-\frac{5}{6}\right)\cdot0{,}12=-\frac{5}{6}\cdot\frac{12}{100}=-\frac{5\cdot12}{6\cdot100}=-\frac{5\cdot2}{100}=-\frac{10}{100}=-0{,}1\). Значит, значение пункта \(1)\) равно \(-0{,}1\).

Во втором выражении \(2)\ (0{,}5-0{,}23):(-3)\) сначала выполняем действие в скобках: \(0{,}5-0{,}23=0{,}27\). Далее деление на отрицательное число \((-3)\) меняет знак результата на отрицательный, потому что положительное число, делённое на отрицательное, даёт отрицательное.

Делим: \(0{,}27:(-3)=-(0{,}27:3)=-0{,}09\). Значит, значение пункта \(2)\) равно \(-0{,}09\).

В третьем выражении \(3)\ \left(\frac{3}{5}-\frac{2}{3}\right):1\frac{1}{5}\) сначала найдём разность дробей. Приводим к общему знаменателю \(15\): \(\frac{3}{5}=\frac{9}{15}\), \(\frac{2}{3}=\frac{10}{15}\), поэтому \(\frac{3}{5}-\frac{2}{3}=\frac{9}{15}-\frac{10}{15}=-\frac{1}{15}\).

Теперь делим на смешанное число \(1\frac{1}{5}\), предварительно переводим его в неправильную дробь: \(1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}\). Деление на дробь заменяем умножением на обратную: \(\left(-\frac{1}{15}\right):\frac{6}{5}=\left(-\frac{1}{15}\right)\cdot\frac{5}{6}=-\frac{5}{90}=-\frac{1}{18}\). Сравниваем: \(-0{,}1<-0{,}09<-\frac{1}{18}\), значит порядок возрастания значений: \(1),\ 2),\ 3)\).

2. НОД чисел \(108\), \(144\) и \(216\) удобно находить через разложение на простые множители: НОД — это произведение общих простых множителей, взятых в минимальных степенях, которые встречаются во всех разложениях. Начнём с разложения каждого числа на простые.

Получаем: \(108=2^2\cdot3^3\) (так как \(108=4\cdot27\)), \(144=2^4\cdot3^2\) (так как \(144=16\cdot9\)), \(216=2^3\cdot3^3\) (так как \(216=8\cdot27\)). Общие простые множители здесь \(2\) и \(3\); берём минимальные степени: для \(2\) это \(2^2\), для \(3\) это \(3^2\). Тогда НОД равен \(2^2\cdot3^2=4\cdot9=36\).

3. НОК чисел \(48\), \(72\) и \(96\) тоже удобно находить через разложение на простые множители: НОК — это произведение всех простых множителей, встречающихся в числах, но в максимальных степенях. Сначала разложим каждое число на простые множители.

Имеем: \(48=2^4\cdot3\) (так как \(48=16\cdot3\)), \(72=2^3\cdot3^2\) (так как \(72=8\cdot9\)), \(96=2^5\cdot3\) (так как \(96=32\cdot3\)). Теперь выбираем максимальные степени: для \(2\) максимальная степень \(2^5\), для \(3\) максимальная степень \(3^2\). Тогда НОК равен \(2^5\cdot3^2=32\cdot9=288\).

4. Нужно выяснить, какую часть часа составляют \(18\) минут. Поскольку в \(1\) часе \(60\) минут, искомая доля — это отношение \(18\) к \(60\), то есть \(\frac{18}{60}\) часа.

Сократим дробь: \(\frac{18}{60}=\frac{3}{10}\), так как числитель и знаменатель делятся на \(6\). В десятичной записи \(\frac{3}{10}=0{,}3\), значит \(18\) минут составляют \(0{,}3\) часть часа.

5. a) Сравниваем \(\frac{2}{25}\) с границами \(0{,}1\) и \(0{,}2\), для этого переводим в десятичную дробь. Так как \(\frac{1}{25}=0{,}04\), то \(\frac{2}{25}=0{,}08\).

Получилось \(0{,}08\), а это меньше \(0{,}1\). Значит, \(\frac{2}{25}\) не лежит между \(0{,}1\) и \(0{,}2\).

б) Переводим \(\frac{3}{20}\) в десятичную дробь: удобно привести к знаменателю \(100\). Так как \(\frac{3}{20}=\frac{3\cdot5}{20\cdot5}=\frac{15}{100}\), то \(\frac{3}{20}=0{,}15\).

Число \(0{,}15\) удовлетворяет неравенству \(0{,}1<0{,}15<0{,}2\). Значит, подходящий вариант — \(\frac{3}{20}\).

в) Переводим \(\frac{2}{5}\) в десятичную дробь: \(\frac{2}{5}=\frac{2\cdot2}{5\cdot2}=\frac{4}{10}=0{,}4\). Это число больше \(0{,}2\), значит оно правее нужного промежутка.

Так как требуется число строго между \(0{,}1\) и \(0{,}2\), вариант \(\frac{2}{5}\) не подходит.

г) Переводим \(\frac{1}{4}\) в десятичную дробь: \(\frac{1}{4}=0{,}25\). Это тоже больше \(0{,}2\), значит число не находится между \(0{,}1\) и \(0{,}2\).

Следовательно, из предложенных вариантов между \(0{,}1\) и \(0{,}2\) лежит только б) \(\frac{3}{20}\).
6. Первый рабочий делает весь заказ за 6 дней, значит за 1 день он выполняет долю \( \frac{1}{6} \) заказа. Аналогично, второй рабочий делает заказ за 8 дней, значит его дневная производительность равна \( \frac{1}{8} \) заказа.

При совместной работе за 1 день выполняется сумма долей \( \frac{1}{6}+\frac{1}{8} \). Приведём к общему знаменателю \(24\): \( \frac{1}{6}=\frac{4}{24} \), \( \frac{1}{8}=\frac{3}{24} \), поэтому вместе \( \frac{4}{24}+\frac{3}{24}=\frac{7}{24} \) заказа. Невыполненная часть — это то, что осталось от целого заказа: \( 1-\frac{7}{24}=\frac{17}{24} \), то есть верный вариант \( \frac{17}{24} \) (а).

7. а) Деление \(-363:(-5{,}5)\) — это отношение двух отрицательных чисел. При делении отрицательного числа на отрицательное результат получается положительным, значит значение \(-363:(-5{,}5)\) больше нуля.

Неравенство требует, чтобы \(-363:(-5{,}5)<0\), то есть чтобы результат был отрицательным. Но так как слева положительное число, условие \(<0\) не выполняется, следовательно, это неравенство неверно.

б) Произведение \(1{,}8\cdot(-45)\) — это произведение положительного числа и отрицательного. По правилу знаков результат такого произведения всегда отрицательный.

Неравенство \(1{,}8\cdot(-45)<0\) сравнивает получившееся значение с нулём. Так как произведение отрицательно, оно действительно меньше нуля, поэтому неравенство верно.

в) Дробь \(\frac{7{,}8}{-8{,}7}\) имеет положительный числитель и отрицательный знаменатель, значит вся дробь отрицательная: \(\frac{7{,}8}{-8{,}7}<0\).

Любое отрицательное число меньше 1, то есть если \(\frac{7{,}8}{-8{,}7}<0\), то автоматически выполняется и \(\frac{7{,}8}{-8{,}7}<1\). Поэтому данное неравенство верно. г) Вычислим левую часть: \(\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{1}{2}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}\). Получилось число \(-\frac{1}{3}\), оно отрицательное, но по модулю меньше 1. Сравним \(-\frac{1}{3}\) и \(-1\): \(-\frac{1}{3}>-1\), потому что \(-1\) расположено левее на числовой прямой. Значит утверждение \(\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{1}{2}<-1\) неверно.

8. Перенесём слагаемые с \(x\) в одну сторону, а числа — в другую: из \(10-6x=12-x\) вычтем 10 из обеих частей, получим \(-6x=2-x\). Чтобы собрать все \(x\) слева, прибавим \(x\) к обеим частям: \(-6x+x=2\).

Слева \(-6x+x=-5x\), поэтому имеем \(-5x=2\). Делим обе части на \(-5\): \(x=\frac{2}{-5}=-\frac{2}{5}\). В десятичной записи это \(x=-0{,}4\).

9. Сказано, что сплав содержит 20% олова, то есть из 100 равных долей сплава 20 долей приходится на олово. Процент — это «на сто», поэтому 20% переводится в дробь как \(\frac{20}{100}\).

Сократим дробь: \(\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\). В десятичной форме \(\frac{1}{5}=0{,}2\), значит олово составляет \(0{,}2\) часть всего сплава.

10. Если не принялись 20% всех саженцев, то принялись остальные 80%. Это означает, что число принявшихся саженцев равно \(0{,}8\) от общего количества высаженных.

Пусть всего высадили \(x\) деревьев. Тогда принялось \(0{,}8x\), а по условию \(0{,}8x=120\). Делим обе части на \(0{,}8\): \(x=\frac{120}{0{,}8}\). Удобно умножить числитель и знаменатель на 10: \(x=\frac{1200}{8}=150\), значит было высажено 150 деревьев.