ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 98 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) верно равенство \(a+|a|=0\) и при каких неверно?

Рассмотрим уравнение \(a+|a|=0\) по случаям.

Если \(a<0\), то \(|a|=-a\), значит \(a+|a|=a+(-a)=0\) — верно.

Если \(a>0\), то \(|a|=a\), значит \(a+|a|=a+a=2a\neq 0\) — неверно.

Если \(a=0\), то \(0+|0|=0+0=0\) — верно.

Ответ: \(a\le 0\).

Решаем уравнение \(a+|a|=0\), учитывая, что модуль \(|a|\) зависит от знака числа \(a\). По определению \(|a|=a\), если \(a\ge 0\), и \(|a|=-a\), если \(a<0\). Поэтому одно и то же выражение \(a+|a|\) в разных случаях превращается в разные алгебраические выражения, и уравнение нужно проверять отдельно для каждого случая.

1) Если \(a<0\), то \(|a|=-a\). Подставляем это в уравнение: \(a+|a|=a+(-a)=0\). Получается тождество \(0=0\), то есть при любом отрицательном \(a\) равенство выполняется. Это соответствует смыслу модуля: для отрицательного \(a\) число \(|a|\) равно противоположному, поэтому сумма \(a\) и \(|a|\) взаимно уничтожается.

2) Если \(a>0\), то \(|a|=a\). Тогда \(a+|a|=a+a=2a\). При \(a>0\) выражение \(2a>0\), значит оно не может быть равно нулю, то есть уравнение \(2a=0\) в этом случае решений не имеет. Следовательно, ни одно положительное значение \(a\) не подходит.

3) Если \(a=0\), то \(|a|=0\). Подстановка дает \(a+|a|=0+0=0\), равенство верно. Это отдельная проверка, потому что точка \(a=0\) является границей между случаями \(a<0\) и \(a>0\).

Итак, подходят все отрицательные числа и ноль: \(a\le 0\).