ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 658 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

На координатной плоскости отметьте точки \(A(-5; 10)\), \(B(3; -6)\), \(C(-3; -4)\), \(D(9; 2)\), \(E(-7; 4)\), \(F(3; 9)\), \(K(4; 5)\), \(P(7; 14)\), \(M(-8; -4)\) и \(N(-6; 2)\). Проведите прямые \(AB\), \(CD\), \(EF\), \(KP\) и \(MN\). С помощью чертёжного угольника и линейки определите, какие из этих прямых параллельны и какие перпендикулярны друг другу. Определите координаты точки пересечения прямой \(CD\) с осью \(x\) и координаты точки пересечения прямой \(KP\) с осью \(y\).

Угловые коэффициенты: \(k_{AB}=\frac{-6-10}{3-(-5)}=\frac{-16}{8}=-2\), \(k_{CD}=\frac{2-(-4)}{9-(-3)}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\), \(k_{EF}=\frac{9-4}{3-(-7)}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\), \(k_{KP}=\frac{14-5}{7-4}=\frac{9}{3}=3\), \(k_{MN}=\frac{2-(-4)}{-6-(-8)}=\frac{6}{2}=3\).

Параллельность: так как \(k_{CD}=k_{EF}\), то \(CD \parallel EF\); так как \(k_{KP}=k_{MN}\), то \(KP \parallel MN\).

Перпендикулярность: \(k_{AB}\cdot k_{CD}=(-2)\cdot\frac{1}{2}=-1\), значит \(AB \perp CD\); также \(k_{AB}\cdot k_{EF}=(-2)\cdot\frac{1}{2}=-1\), значит \(AB \perp EF\).

Пересечение \(CD\) с осью \(x\): \(y+4=\frac{1}{2}(x+3)\), при \(y=0\) получаем \(4=\frac{1}{2}(x+3)\), значит \(x=5\), точка \((5;0)\).

Пересечение \(KP\) с осью \(y\): \(y-5=3(x-4)\), то есть \(y=3x-7\), при \(x=0\) получаем \(y=-7\), точка \((0;-7)\).

а) Чтобы определить, какие прямые параллельны и какие перпендикулярны, удобно сравнивать их угловые коэффициенты. Для прямой через точки \((x_1;y_1)\) и \((x_2;y_2)\) угловой коэффициент равен \(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). Если у двух прямых угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны; если произведение угловых коэффициентов равно \(-1\), то прямые перпендикулярны.

Для \(AB\): \(A(-5;10)\), \(B(3;-6)\), поэтому \(k_{AB}=\frac{-6-10}{3-(-5)}=\frac{-16}{8}=-2\). Для \(CD\): \(C(-3;-4)\), \(D(9;2)\), значит \(k_{CD}=\frac{2-(-4)}{9-(-3)}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\). Для \(EF\): \(E(-7;4)\), \(F(3;9)\), значит \(k_{EF}=\frac{9-4}{3-(-7)}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\). Для \(KP\): \(K(4;5)\), \(P(7;14)\), значит \(k_{KP}=\frac{14-5}{7-4}=\frac{9}{3}=3\). Для \(MN\): \(M(-8;-4)\), \(N(-6;2)\), значит \(k_{MN}=\frac{2-(-4)}{-6-(-8)}=\frac{6}{2}=3\).

Теперь сравниваем найденные значения. Так как \(k_{CD}=k_{EF}=\frac{1}{2}\), то прямые \(CD\) и \(EF\) имеют одинаковый наклон, а значит \(CD \parallel EF\). Аналогично, так как \(k_{KP}=k_{MN}=3\), то \(KP \parallel MN\). Перпендикулярность проверяем по условию \(k_1\cdot k_2=-1\): \(k_{AB}\cdot k_{CD}=(-2)\cdot\frac{1}{2}=-1\), значит \(AB \perp CD\); и \(k_{AB}\cdot k_{EF}=(-2)\cdot\frac{1}{2}=-1\), значит \(AB \perp EF\).

б) Чтобы найти точку пересечения прямой \(CD\) с осью \(x\), нужно учесть, что на оси \(x\) у всех точек \(y=0\). Поэтому сначала запишем уравнение прямой \(CD\), используя точку \(C(-3;-4)\) и угловой коэффициент \(k_{CD}=\frac{1}{2}\).

Уравнение прямой через точку \((x_0;y_0)\) с угловым коэффициентом \(k\) можно записать как \(y-y_0=k(x-x_0)\). Подставляем \(x_0=-3\), \(y_0=-4\), \(k=\frac{1}{2}\): получаем \(y-(-4)=\frac{1}{2}(x-(-3))\), то есть \(y+4=\frac{1}{2}(x+3)\).

Теперь находим пересечение с осью \(x\), подставляя \(y=0\): \(0+4=\frac{1}{2}(x+3)\). Умножаем обе части на \(2\): \(8=x+3\), откуда \(x=5\). Значит, прямая \(CD\) пересекает ось \(x\) в точке \((5;0)\), что совпадает с рисунком.

в) Чтобы найти точку пересечения прямой \(KP\) с осью \(y\), используем факт: на оси \(y\) у всех точек \(x=0\). Поэтому снова составим уравнение прямой \(KP\) по точке \(K(4;5)\) и угловому коэффициенту \(k_{KP}=3\).

Записываем уравнение в виде \(y-y_0=k(x-x_0)\). Подставляем \(x_0=4\), \(y_0=5\), \(k=3\): \(y-5=3(x-4)\). Раскрываем скобки: \(y-5=3x-12\), значит \(y=3x-7\).

Теперь находим пересечение с осью \(y\), подставляя \(x=0\): \(y=3\cdot 0-7=-7\). Следовательно, прямая \(KP\) пересекает ось \(y\) в точке \((0;-7)\), что соответствует изображению.