ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 597 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

По какому правилу выполняется:

а) сложение дробей с одинаковыми знаменателями;

б) сложение дробей с разными знаменателями;

в) умножение дробей;

г) деление дробей;

д) сравнение рациональных чисел;

е) сложение рациональных чисел с одинаковыми знаками; с разными знаками;

ж) вычитание рациональных чисел;

з) умножение рациональных чисел с одинаковыми знаками; с разными знаками;

и) деление рациональных чисел с одинаковыми знаками; с разными знаками;

к) раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»; знак «-»?

а) При сложении дробей с одинаковыми знаменателями складываем числители, знаменатель остаётся прежним.

б) При сложении дробей с разными знаменателями приводим к общему знаменателю: находим дополнительные множители, умножаем на них числители, затем складываем дроби с одинаковыми знаменателями.

в) При умножении дробей перемножаем числители и знаменатели: произведение числителей — в числителе, произведение знаменателей — в знаменателе.

г) При делении дробей делитель переворачиваем и заменяем деление на умножение.

д) Из двух рациональных чисел больше то, которому на числовой оси соответствует точка, расположенная правее.

е) Если слагаемые одного знака — складываем модули и ставим общий знак. Если знаки разные — из большего модуля вычитаем меньший и ставим знак числа с большим модулем.

ж) Вычитание положительного числа заменяем сложением с равным по модулю отрицательным, а вычитание отрицательного — сложением с положительным.

з) При умножении: одинаковые знаки — перемножаем модули, знак \(+\); разные знаки — перемножаем модули, знак \(-\).

и) При делении: одинаковые знаки — умножаем на перевёрнутую дробь, знак \(+\); разные знаки — умножаем на перевёрнутую дробь, знак \(-\).

к) Если перед скобкой стоит \(+\), скобки опускаем; если перед скобкой стоит \(-\), то при раскрытии скобок знаки внутри меняем на противоположные.

а) Этот пункт про сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Если знаменатели равны, например \(\frac{a}{m}\) и \(\frac{b}{m}\), то обе дроби уже «разбиты» на одинаковые доли (на \(m\) частей), поэтому можно складывать только количество таких долей.

Складываем числители, потому что числитель показывает, сколько долей взято: \(\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}\). Знаменатель оставляем прежним, так как размер доли не меняется, меняется только число долей.

б) Этот пункт про сложение дробей с разными знаменателями. Если знаменатели разные, например \(\frac{a}{m}\) и \(\frac{b}{n}\), то доли разного размера, поэтому сразу складывать числители нельзя: сначала нужно перейти к одинаковым долям.

Для этого приводим дроби к общему знаменателю \(M\) (обычно берут \(M=mn\) или наименьший общий кратный). Находим дополнительные множители: \(\frac{a}{m}=\frac{a\cdot \frac{M}{m}}{M}\) и \(\frac{b}{n}=\frac{b\cdot \frac{M}{n}}{M}\). После этого складываем как в пункте а): \(\frac{a\cdot \frac{M}{m}}{M}+\frac{b\cdot \frac{M}{n}}{M}=\frac{a\cdot \frac{M}{m}+b\cdot \frac{M}{n}}{M}\).

в) Этот пункт про умножение дробей. При умножении \(\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\) мы умножаем «часть от части»: числитель отвечает за выбранные части, знаменатель — за то, на сколько частей разделено целое в каждом множителе.

По правилу перемножаем числители и отдельно перемножаем знаменатели: \(\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\). Первое произведение \(ac\) записываем в числитель, второе произведение \(bd\) — в знаменатель, потому что так сохраняется смысл дроби как отношения частей.

г) Этот пункт про деление дробей. Деление \(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}\) означает, сколько раз \(\frac{c}{d}\) «содержится» в \(\frac{a}{b}\), и стандартно это удобнее выполнять через умножение.

Правило: делитель переворачиваем и заменяем деление на умножение, то есть \(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}\). Переворот делителя \(\frac{c}{d}\) даёт обратную дробь \(\frac{d}{c}\), и умножение на неё эквивалентно исходному делению.

д) Этот пункт про сравнение рациональных чисел на числовой оси. Рациональные числа можно представить точками на прямой: чем правее точка, тем больше число, чем левее — тем меньше.

Поэтому из двух рациональных чисел больше то, которому соответствует точка, расположенная правее. Например, если \(x\) правее \(y\), то \(x>y\); если левее, то \(x<y\). Это правило работает для любых рациональных чисел, включая отрицательные.

е) Этот пункт про сложение рациональных чисел с учётом знаков. Если числа одного знака, например \(+a\) и \(+b\) или \(-a\) и \(-b\), то их «направление» на оси одинаковое, поэтому общий результат остаётся с тем же знаком.

Тогда складываем модули и ставим знак слагаемых: \(a+b\) для положительных, и \(-(a+b)\) для отрицательных. Если знаки разные, например \(+a\) и \(-b\), то они «тянут» в разные стороны: из большего модуля вычитаем меньший, то есть получаем \(\lvert a-b\rvert\), и знак ставим того числа, у которого модуль больше (если \(a>b\), результат \(+(a-b)\), если \(b>a\), результат \(-(b-a)\)).

ж) Этот пункт объясняет, что вычитание удобно переводить в сложение. Вычитание — это прибавление противоположного числа, потому что противоположное имеет тот же модуль, но обратный знак.

Поэтому \(x-y=x+(-y)\): вычитание положительного числа сводится к сложению с равным по модулю отрицательным, а вычитание отрицательного — к сложению с положительным, например \(x-(-y)=x+y\). Так проще применять правила сложения из пункта е).

з) Этот пункт про умножение чисел с разными и одинаковыми знаками. При умножении важны две части: знак результата и модуль результата (абсолютная величина).

Если знаки одинаковые, например \(+a\cdot +b\) или \(-a\cdot -b\), то перемножаем модули и ставим знак \(+\): \((+a)(+b)=ab\), \((-a)(-b)=ab\). Если знаки разные, например \(+a\cdot -b\) или \(-a\cdot +b\), то перемножаем модули и ставим знак \(-\): \((+a)(-b)=-(ab)\), \((-a)(+b)=-(ab)\).

и) Этот пункт про деление чисел и правила знаков при делении. Деление можно понимать как умножение на обратное число, а знак результата определяется так же, как при умножении.

Если делим числа одинаковых знаков, результат положительный: \(\frac{a}{b}>0\), когда \(a\) и \(b\) одного знака. Практически это описывают так: деление сводится к умножению на перевёрнутую дробь и знак \(+\), например \(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}\), и если исходные числа одного знака, итог положительный. Если знаки разные, то после умножения на перевёрнутую дробь результат со знаком \(-\), потому что делимое и делитель разных знаков дают отрицательное частное.

к) Этот пункт про раскрытие скобок перед которыми стоит знак. Знак перед скобкой показывает, как скобки влияют на знаки слагаемых (или вычитаемых) внутри.

Если перед скобкой стоит \(+\), скобки просто опускаем, потому что прибавление суммы не меняет знаки: \(+(a-b+c)=a-b+c\). Если перед скобкой стоит \(-\), то при раскрытии скобок знаки всех чисел внутри меняются на противоположные: \(-(a-b+c)=-a+b-c\), так как фактически происходит умножение каждого слагаемого внутри на \(-1\).