ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 594 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Ответьте на вопросы.

а) Чему равен модуль положительного числа; отрицательного числа? Чему равен модуль нуля?

б) Может ли быть положительным, отрицательным или нулём значение выражения \(-m\); \(-\frac{m}{n}\); \(|m|\); \(m-n\)?

в) Верно ли равенство \(|-a|=a\); \(|x|=-x\); \(|-b|=|b|\)?

а) Если \(x>0\), то \(|x|=x\). Если \(x<0\), то \(|x|=-x\). Если \(x=0\), то \(|x|=0\).

б) \(-m\): если \(m=0\), то \(-m=0\); если \(m>0\), то \(-m<0\); если \(m<0\), то \(-m>0\).

\(-\frac{m}{n}\) (при \(n\neq 0\)): если \(m<0\) или \(n<0\) (но не оба сразу), то \(-\frac{m}{n}>0\); если \(m>0\) и \(n>0\) или \(m<0\) и \(n<0\), то \(-\frac{m}{n}<0\); если \(m=0\), \(n\neq 0\), то \(-\frac{m}{n}=0\).

\(|m|\): если \(m\neq 0\), то \(|m|>0\); если \(m=0\), то \(|m|=0\); \(|m|<0\) — не может быть.

\(m-n\): если \(m=n\), то \(m-n=0\); если \(m>n\), то \(m-n>0\); если \(m<n\), то \(m-n<0\).

в) \(|-a|=a\) — неверно, например при \(a=-5\): \(|-a|=|5|=5\), а \(a=-5\).

\(|x|=-x\) — неверно, например при \(x=5\): \(|5|=5\), а \(-x=-5\).

\(|-b|=|b|\) — верно.

а) Модуль числа \(|x|\) определяют как расстояние от числа \(x\) до нуля на числовой прямой. Поэтому модуль всегда неотрицателен и зависит только от того, где находится \(x\) относительно нуля: справа, слева или в самой точке \(0\).

Если \(x>0\), число уже положительное и находится справа от нуля, поэтому расстояние до нуля равно самому числу, то есть \(|x|=x\). Если \(x<0\), число находится слева от нуля, и чтобы получить положительное расстояние, знак меняют на противоположный, поэтому \(|x|=-x\). Если \(x=0\), расстояние до нуля равно нулю, значит \(|x|=0\).

б) Для выражения \(-m\) знак полностью определяется знаком \(m\): умножение на \(-1\) меняет знак на противоположный. Поэтому при \(m=0\) получаем \(-m=0\), при \(m>0\) получаем \(-m<0\), а при \(m<0\) получаем \(-m>0\).

Для выражения \(-\frac{m}{n}\) сначала важно, что оно имеет смысл только при \(n\neq 0\). Знак дроби \(\frac{m}{n}\) положителен, когда \(m\) и \(n\) одного знака, и отрицателен, когда знаки разные; затем внешний минус меняет знак на противоположный. Поэтому если \(m>0\) и \(n>0\) или \(m<0\) и \(n<0\), то \(\frac{m}{n}>0\), значит \(-\frac{m}{n}<0\). Если \(m<0\) и \(n>0\) или \(m>0\) и \(n<0\), то \(\frac{m}{n}<0\), значит \(-\frac{m}{n}>0\). Если \(m=0\) и \(n\neq 0\), то \(\frac{m}{n}=0\), значит \(-\frac{m}{n}=0\).

Для \(|m|\) используется свойство модуля: он показывает величину числа без учета знака и не может быть отрицательным. Если \(m\neq 0\), то расстояние от \(m\) до нуля строго положительное, значит \(|m|>0\). Если \(m=0\), то расстояние равно нулю, значит \(|m|=0\). Значение \(|m|<0\) невозможно ни при каких \(m\).

Для разности \(m-n\) знак определяется сравнением чисел \(m\) и \(n\). Если \(m=n\), то разность равна нулю: \(m-n=0\). Если \(m>n\), то от большего числа вычитают меньшее, поэтому разность положительна: \(m-n>0\). Если \(m<n\), то от меньшего вычитают большее, поэтому разность отрицательна: \(m-n<0\).

в) Равенство \(|-a|=a\) в общем случае неверно, потому что модуль всегда неотрицателен, а число \(a\) может быть отрицательным. Например, при \(a=-5\) имеем \(|-a|=|5|=5\), но \(a=-5\), то есть получается \(5\neq -5\), значит равенство не выполняется.

Равенство \(|x|=-x\) тоже неверно в общем виде, потому что левая часть \(|x|\) всегда \(\ge 0\), а правая часть \(-x\) может быть отрицательной или положительной в зависимости от \(x\). Например, при \(x=5\) получаем \(|x|=|5|=5\), а \(-x=-5\), то есть \(5\neq -5\), равенство не выполняется.

Равенство \(|-b|=|b|\) верно всегда, потому что модуль не зависит от знака числа: числа \(b\) и \(-b\) находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Если \(b>0\), то \(|b|=b\) и \(|-b|=-(-b)=b\), значит равны. Если \(b<0\), то \(|b|=-b\) и \(|-b|=-b\), снова равны. Если \(b=0\), то \(|-b|=|0|=0\) и \(|b|=|0|=0\), равенство также выполняется.