ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 590 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Верно ли, что:
а) сумма простых чисел есть число простое;
б) произведение двух простых чисел есть число простое;
в) произведение двух составных чисел есть число составное?

а) неверно, например: \(3+5=8\) — составное число.

б) неверно, например: \(3\cdot 5=15\) — составное число.

в) верно: если \(a\) и \(b\) — составные, то \(a=m\cdot n\), \(b=p\cdot q\), где \(m,n,p,q>1\); тогда \(a\cdot b=(m\cdot p)\cdot(n\cdot q)\), значит \(a\cdot b\) — составное (например: \(8\cdot 9=72\) — составное число).

а) неверно, потому что сумма двух простых чисел не обязана быть простым числом. Если оба простых числа нечётные (а почти все простые нечётные), то их сумма будет чётной: пусть \(p\) и \(q\) — нечётные простые, тогда \(p=2k+1\) и \(q=2m+1\), значит \(p+q=2(k+m+1)\), то есть число делится на \(2\) и больше \(2\), следовательно, оно составное.

Пример показывает это сразу: \(3+5=8\). Число \(8\) делится на \(2\), то есть \(8=2\cdot 4\), значит оно составное, поэтому утверждение «сумма простых чисел всегда простая» неверно.

б) неверно, потому что произведение двух простых чисел при умножении сохраняет оба простых множителя. Если \(p\) и \(q\) — простые и при этом \(p>1\), \(q>1\), то число \(p\cdot q\) имеет делители \(1\), \(p\), \(q\) и само \(p\cdot q\). Уже наличие делителя \(p\), отличного от \(1\) и от самого числа, означает, что произведение не может быть простым.

На конкретном примере: \(3\cdot 5=15\). Число \(15\) делится на \(3\) и на \(5\), то есть \(15=3\cdot 5\), поэтому у него есть делители, кроме \(1\) и \(15\), следовательно, оно составное, и утверждение «произведение двух простых чисел простое» неверно.

в) верно, потому что составное число по определению раскладывается в произведение двух натуральных чисел, больших \(1\). Если \(a\) — составное, то существует разложение \(a=m\cdot n\), где \(m>1\) и \(n>1\); если \(b\) — составное, то \(b=p\cdot q\), где \(p>1\) и \(q>1\). Тогда произведение \(a\cdot b=(m\cdot n)\cdot(p\cdot q)=(m\cdot p)\cdot(n\cdot q)\), и оба множителя \(m\cdot p\) и \(n\cdot q\) больше \(1\).

Из того, что \(a\cdot b\) представлено как произведение двух чисел, каждое из которых больше \(1\), следует, что \(a\cdot b\) — составное. Это подтверждается примером: \(8\cdot 9=72\), а число \(72\) имеет нетривиальные делители (например, \(72=8\cdot 9\)), значит оно составное.