ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 584 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Ответьте на вопросы.
а) Какое число называют делителем данного числа? кратным данного числа? Приведите примеры.
б) Какое число называют чётным? Приведите примеры.
в) Как формулируется признак делимости на \(2\)? на \(3\)? на \(9\)? на \(5\)? на \(10\)?
г) Какое число называют простым? составным? Приведите примеры. Является ли простым число \(11\)? число \(2\)? число \(1\)?
д) Какие числа называют взаимно простыми? Приведите примеры. Чему равны наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?

а) Делителем данного числа называют число, на которое данное число делится без остатка.

Кратным данного числа называют число, которое делится без остатка на данное число.

Примеры: число \(9\) является делителем числа \(27\); число \(12\) кратно числу \(2\).

б) Четные числа — это числа, которые делятся нацело на \(2\).

Например: \(14\); \(28\); \(56\); \(102\) …

в) На \(2\) делятся только четные числа.

На \(3\) делятся те числа, сумма цифр которых делится на \(3\).

На \(9\) делятся те числа, сумма цифр которых делится на \(9\).

На \(5\) делятся те числа, которые оканчиваются нулем или \(5\).

На \(10\) делятся те числа, которые оканчиваются одним и более нулями.

г) Простое число — число, которое имеет только два делителя: \(1\) и само себя \((2; 5; 13; 23 \dots)\).

Составное число — число, которое имеет более двух делителей \((6; 15; 49; 80 \dots)\).

Число \(11\) — простое число; число \(2\) — простое число.

Число \(1\) — не является ни простым, ни составным числом.

д) Взаимно простые числа — числа, наибольший общий делитель которых равен \(1\).

Например: \(3\) и \(5\); \(13\) и \(17\).

Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

а) Делителем данного числа называют число, на которое данное число делится без остатка. Это значит: если число \(a\) делится на число \(b\) нацело, то при делении получается целое число и остаток равен \(0\). Записывают так: \(a:b\) без остатка, или \(a\) делится на \(b\).

Чтобы проверить, является ли \(b\) делителем \(a\), выполняют деление и смотрят, получается ли целое число. Например, \(27:9=3\), значит число \(9\) является делителем числа \(27\), потому что деление прошло без остатка. Если бы получилось нецелое число, то делителем \(b\) не было бы.

Кратным данного числа называют число, которое делится без остатка на данное число. То есть число \(a\) называется кратным \(b\), если \(a\) можно разделить на \(b\) без остатка. Это удобно понимать так: кратные числа получают умножением \(b\) на целые числа \(1,2,3,\dots\).

Проверка кратности — это тоже деление нацело: если \(a:b\) — целое, то \(a\) кратно \(b\). Например, \(12:2=6\), значит число \(12\) кратно числу \(2\), потому что \(12\) делится на \(2\) без остатка. Важно не путать формулировки: «\(9\) делитель \(27\)» и «\(27\) кратно \(9\)» говорят об одном и том же факте, но с разных сторон.

б) Четные числа — это числа, которые делятся нацело на \(2\). Это означает, что при делении на \(2\) остаток равен \(0\), а результат — целое число. Например, \(14:2=7\), \(28:2=14\), \(56:2=28\), \(102:2=51\), поэтому эти числа четные.

У четных чисел есть простой признак по последней цифре: число четное, если оно оканчивается на \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) или \(8\). Это работает потому, что делимость на \(2\) определяется только последней цифрой в десятичной записи. Например, \(102\) оканчивается на \(2\), значит оно делится на \(2\) нацело.

Нечетные числа — это числа, которые на \(2\) нацело не делятся, то есть при делении на \(2\) остается остаток \(1\). Это полезно, чтобы быстро различать случаи: если последняя цифра \(1\), \(3\), \(5\), \(7\) или \(9\), то число нечетное.

Таким образом, чтобы решить, четное число или нет, не нужно выполнять деление целиком: достаточно посмотреть на последнюю цифру, а при необходимости подтвердить делением без остатка.

в) На \(2\) делятся только четные числа. Поэтому при проверке делимости на \(2\) достаточно убедиться, что число четное, то есть последняя цифра принадлежит множеству \(0,2,4,6,8\). Если последняя цифра другая, деление на \(2\) нацело невозможно.

На \(3\) делятся те числа, сумма цифр которых делится на \(3\). То есть сначала находят сумму цифр числа, а затем проверяют, делится ли эта сумма на \(3\) без остатка. Например, если сумма цифр равна \(12\), то \(12:3=4\), значит исходное число делится на \(3\).

На \(9\) делятся те числа, сумма цифр которых делится на \(9\). Действия те же: вычисляют сумму цифр и проверяют делимость на \(9\). Например, если сумма цифр равна \(18\), то \(18:9=2\), значит число делится на \(9\). Если сумма цифр равна \(17\), то \(17:9\) не дает целого числа, значит исходное число на \(9\) не делится.

На \(5\) делятся те числа, которые оканчиваются нулем или \(5\). Это значит: последняя цифра должна быть \(0\) или \(5\). Тогда деление на \(5\) пройдет без остатка, а если последняя цифра другая, то остаток обязательно появится.

На \(10\) делятся те числа, которые оканчиваются одним и более нулями. То есть последняя цифра обязательно \(0\); если нулей несколько, это означает делимость на \(10\) и одновременно на более высокие степени десяти, например на \(100\) — если оканчивается на два нуля. В любом случае, для делимости на \(10\) достаточно одного нуля на конце.

г) Простое число — число, которое имеет только два делителя: единицу и само себя \((2; 5; 13; 23 \dots)\). Это означает, что кроме \(1\) и самого числа \(p\), нет других натуральных чисел, на которые \(p\) делится без остатка. Например, у числа \(13\) делители только \(1\) и \(13\).

Проверяют простоту так: пытаются найти делитель среди чисел меньше самого числа. Если находится хотя бы один делитель, отличный от \(1\), то число уже не простое. Например, для \(23\) нет делителей среди \(2,3,4,\dots\), значит оно простое; а для \(15\) есть делитель \(3\), потому что \(15:3=5\), значит \(15\) не простое.

Составное число — число, которое имеет более двух делителей \((6; 15; 49; 80 \dots)\). Это значит, что у него есть делители помимо \(1\) и самого числа. Например, \(6\) делится на \(2\) и \(3\), поэтому у него делителей больше двух, и оно составное.

Число \(11\) — простое число; число \(2\) — простое число. Это следует из определения: \(11\) делится только на \(1\) и \(11\), а \(2\) делится только на \(1\) и \(2\). При этом \(2\) — единственное четное простое число, потому что любое другое четное число делится на \(2\) и имеет больше двух делителей.

Число \(1\) — не является ни простым, ни составным числом. У него только один делитель — \(1\), а по определению простое должно иметь ровно два делителя, а составное — более двух, поэтому \(1\) не подходит ни под один из этих случаев.

д) Взаимно простые числа — числа, наибольший общий делитель которых равен \(1\). То есть у двух чисел нет общих делителей, кроме \(1\). Это проверяют, находя общие делители или вычисляя их наибольший общий делитель: если он равен \(1\), то числа взаимно простые.

Например: \(3\) и \(5\); \(13\) и \(17\). У \(3\) делители \(1\) и \(3\), у \(5\) делители \(1\) и \(5\), общим остается только \(1\), поэтому они взаимно простые. Аналогично у \(13\) и \(17\) общих делителей, кроме \(1\), нет, значит их наибольший общий делитель равен \(1\).

Чтобы убедиться в взаимной простоте, можно разложить числа на простые множители и сравнить: если общих простых множителей нет, то наибольший общий делитель равен \(1\). Например, \(15=3\cdot 5\) и \(28=2^2\cdot 7\) не имеют общих множителей, значит они тоже взаимно простые.

Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению. То есть если числа \(a\) и \(b\) взаимно простые, то \( \text{НОК}(a,b)=a\cdot b \). Это работает потому, что у них нет общих простых множителей, и для общего кратного нужно просто взять все множители вместе, получая произведение.