ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 581 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Верно ли, что:
а) число, обратное произведению двух чисел, равно произведению чисел, обратных множителям;
б) число, обратное сумме двух чисел, равно сумме чисел, обратных слагаемым;
в) число, противоположное произведению двух чисел, равно произведению чисел, противоположных множителям;
г) число, противоположное сумме двух чисел, равно сумме чисел, противоположных слагаемым?

а) верно: \(\frac{1}{ab}=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}\) (при \(a\neq0\), \(b\neq0\)).

б) неверно: например, при \(a=1\), \(b=1\) имеем \(\frac{1}{a+b}=\frac{1}{2}\), а \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\), не равно.

в) неверно: \(-(ab)=(-a)\cdot b=a\cdot(-b)\), но \((-a)(-b)=ab\), значит «противоположное произведению» не равно «произведению противоположных».

г) верно: \(-(a+b)=(-a)+(-b)\).

а) верно.

Чтобы число было обратным произведению \(ab\), нужно, чтобы при умножении на \(ab\) получалась единица: \(ab\cdot x=1\). Если \(a\neq0\) и \(b\neq0\), то можно взять \(x=\frac{1}{ab}\), и действительно \(ab\cdot\frac{1}{ab}=1\), значит \(\frac{1}{ab}\) — число, обратное произведению.

Произведение чисел, обратных множителям, равно \(\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}\). Перемножая дроби, получаем \(\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}=\frac{1\cdot1}{a\cdot b}=\frac{1}{ab}\). Значит, обратное произведению равно произведению обратных, при условии \(a\neq0\) и \(b\neq0\).

б) неверно.

Число, обратное сумме \(a+b\), по определению равно \(\frac{1}{a+b}\) (и это имеет смысл только при \(a+b\neq0\)). Сумма чисел, обратных слагаемым, равна \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) (и это имеет смысл при \(a\neq0\) и \(b\neq0\)). Эти выражения устроены по-разному: в первом случае обратное берётся от всей суммы, во втором — отдельно от каждого слагаемого.

Достаточно контрпримера: при \(a=1\) и \(b=1\) имеем \(\frac{1}{a+b}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\), а \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=2\). Так как \(\frac{1}{2}\neq2\), утверждение неверно.

в) неверно.

Число, противоположное произведению \(ab\), — это \(-(ab)\), то есть такое число, которое в сумме с \(ab\) даёт ноль: \(ab+(-(ab))=0\). По свойствам умножения и знаков \(-(ab)=(-a)\cdot b\), также \(-(ab)=a\cdot(-b)\), то есть чтобы получить противоположное произведению, достаточно поменять знак у одного из множителей.

Произведение чисел, противоположных множителям, равно \((-a)\cdot(-b)\). Но \((-a)\cdot(-b)=ab\), так как произведение двух отрицательных чисел положительно. Получается, \((-a)\cdot(-b)=ab\), а противоположное произведению равно \(-(ab)\), и \(ab\neq-(ab)\) при \(ab\neq0\), значит равенство в общем случае неверно.

г) верно.

Число, противоположное сумме \(a+b\), — это \(-(a+b)\), то есть такое число, которое в сумме с \(a+b\) даёт ноль: \((a+b)+(-(a+b))=0\). По свойствам сложения и распределительного закона для знака минус выполняется равенство \(-(a+b)=(-a)+(-b)\), то есть «минус» перед скобками меняет знак у каждого слагаемого.

Проверка через сложение с исходной суммой показывает, почему это работает: \((a+b)+((-a)+(-b))=(a+(-a))+(b+(-b))=0+0=0\). Значит \((-a)+(-b)\) действительно является числом, противоположным \(a+b\), и утверждение верно.