ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 530 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Отметьте на координатной плоскости точки \(M(0;\,5)\), \(N(8;\,1)\), \(C(2;\,2)\), \(D(-6;\,-2)\). Найдите координаты точки пересечения прямых \(MN\) и \(CD\). На какой из этих прямых лежит точка \(K(0;\,1)\)?

Прямая \(MN\): угловой коэффициент \(k_{MN}=\frac{1-5}{8-0}=-\frac{1}{2}\), поэтому \(y=5-\frac{x}{2}\).

Прямая \(CD\): угловой коэффициент \(k_{CD}=\frac{-2-2}{-6-2}=\frac{1}{2}\), поэтому \(y=\frac{x}{2}+1\).

Точка пересечения: \(5-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}+1\Rightarrow x=4\), тогда \(y=3\). Значит, \(E(4;\,3)\).

Проверка точки \(K(0;\,1)\): на \(MN\) при \(x=0\) получаем \(y=5\), значит \(K\notin MN\); на \(CD\) при \(x=0\) получаем \(y=1\), значит \(K\in CD\).

а) Чтобы найти точку пересечения прямых \(MN\) и \(CD\), сначала составим уравнение каждой прямой по двум заданным точкам. Для прямой через точки \((x_1;y_1)\) и \((x_2;y_2)\) удобно находить угловой коэффициент по формуле \(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\), потому что тогда уравнение можно записать в виде \(y=kx+b\), где \(b\) легко найти подстановкой координат любой точки прямой.

Для прямой \(MN\) берем \(M(0;5)\) и \(N(8;1)\). Тогда \(k_{MN}=\frac{1-5}{8-0}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}\). Подставляем точку \(M(0;5)\) в вид \(y=kx+b\): \(5=-\frac{1}{2}\cdot 0+b\), откуда \(b=5\). Значит, уравнение прямой \(MN\) имеет вид \(y=-\frac{1}{2}x+5\), то есть \(y=5-\frac{x}{2}\).

Для прямой \(CD\) берем \(C(2;2)\) и \(D(-6;-2)\). Угловой коэффициент \(k_{CD}=\frac{-2-2}{-6-2}=\frac{-4}{-8}=\frac{1}{2}\). Теперь найдем \(b\), подставив точку \(C(2;2)\) в \(y=\frac{1}{2}x+b\): \(2=\frac{1}{2}\cdot 2+b\), получаем \(2=1+b\), значит \(b=1\). Следовательно, прямая \(CD\) задается уравнением \(y=\frac{1}{2}x+1\), то есть \(y=\frac{x}{2}+1\).

Точка пересечения принадлежит обеим прямым одновременно, поэтому ее координаты удовлетворяют сразу двум уравнениям. Приравниваем правые части: \(5-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}+1\). Чтобы убрать дроби, удобно перенести слагаемые с \(x\) в одну сторону: \(5-1=\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\), получаем \(4=x\). Подставляем \(x=4\) в любое уравнение, например в \(y=\frac{x}{2}+1\): \(y=\frac{4}{2}+1=2+1=3\). Значит, точка пересечения прямых \(MN\) и \(CD\) равна \(E(4;3)\), что совпадает с изображением.

б) Чтобы определить, на какой из прямых лежит точка \(K(0;1)\), достаточно проверить, удовлетворяют ли ее координаты уравнению каждой прямой. Если при подстановке \(x=0\) в уравнение прямой получается \(y=1\), то точка \(K(0;1)\) лежит на этой прямой; если получается другое значение, то не лежит.

Проверим прямую \(MN\) с уравнением \(y=5-\frac{x}{2}\). Подставляем \(x=0\): получаем \(y=5-\frac{0}{2}=5\). Это не равно координате \(y\) точки \(K\), так как у \(K\) \(y=1\). Следовательно, \(K(0;1)\) не лежит на прямой \(MN\).

Проверим прямую \(CD\) с уравнением \(y=\frac{x}{2}+1\). Подставляем \(x=0\): \(y=\frac{0}{2}+1=1\). Это точно совпадает с \(y\)-координатой точки \(K(0;1)\), значит точка удовлетворяет уравнению прямой и принадлежит ей. Следовательно, \(K(0;1)\) лежит на прямой \(CD\).