ГДЗ к учебнику Виленкина для 6 класса, часть 2 (авторы: Жохов, Чесноков, Виленкин) — это системный помощник по темам второй половины курса, где расширяется и закрепляется база математических навыков: работа с десятичными дробями и процентами, действия с рациональными числами, пропорции и отношения, степенные выражения и делимость, задачи на скорость–время–расстояние, а также углубление в уравнения и текстовые задачи. Продуманный решебник следует логике учебника: показывает последовательность шагов, связывает каждое преобразование с теорией, тренирует аккуратность записи.
ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 519 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы
Попробуйте найти простой способ для вычисления значения выражения:
\(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{7\cdot8}+\frac{1}{8\cdot9}+\frac{1}{9\cdot10}\).
\(S=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 9}+\frac{1}{9\cdot 10}\).
Каждое слагаемое раскладываем: \( \frac{1}{k(k+1)}=\frac{k+1-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \). Тогда \(S=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})\).
В телескопической сумме все промежуточные дроби сокращаются, остаётся \(S=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}=0{,}9\).
а) Рассмотрим сумму \( \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 9}+\frac{1}{9\cdot 10} \). Удобство в том, что каждое слагаемое имеет вид \( \frac{1}{k(k+1)} \), и его можно разложить на разность двух простых дробей, чтобы затем произошло «телескопическое» сокращение.
Для каждого \(k\) верно тождество \( \frac{1}{k(k+1)}=\frac{k+1-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \). Тогда вся сумма переписывается так: \( \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\right)+\)
\(+\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\right) \). Здесь видно, что почти все дроби взаимно уничтожаются: \(-\frac{1}{2}\) сокращается с \(+\frac{1}{2}\), \(-\frac{1}{3}\) с \(+\frac{1}{3}\) и так далее вплоть до \(-\frac{1}{9}\) с \(+\frac{1}{9}\).
После сокращений остаются только крайние члены: первое \(1\) и последнее \(-\frac{1}{10}\), то есть сумма равна \( 1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10} \). В десятичной записи это \( \frac{9}{10}=0{,}9 \), что совпадает с результатом на фото.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!