ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 50 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Укажите пары взаимно обратных чисел: \(\frac{3}{7};\ 1,1;\ 5;\ 2\frac{1}{3};\ 0,2;\ \frac{10}{11}\).

Взаимно обратные числа — это числа, произведение которых равно \(1\).

Проверим представленные пары чисел.

Для первой пары: \(\frac{3}{7}\) и \(2\frac{1}{3}\). Смешанное число \(2\frac{1}{3}\) преобразуется в неправильную дробь \(\frac{7}{3}\). Произведение этих чисел: \(\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} = 1\). Следовательно, они являются взаимно обратными.

Для второй пары: \(1,1\) и \(\frac{10}{11}\). Десятичная дробь \(1,1\) преобразуется в обыкновенную дробь \(\frac{11}{10}\). Произведение этих чисел: \(\frac{11}{10} \cdot \frac{10}{11} = 1\). Следовательно, они являются взаимно обратными.

Для третьей пары: \(5\) и \(\frac{1}{5}\). Произведение этих чисел: \(5 \cdot \frac{1}{5} = 1\). Следовательно, они являются взаимно обратными. Дробь \(\frac{1}{5}\) также равна \(0,2\).

Понятие взаимно обратных чисел является фундаментальным в арифметике и алгебре. Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно единице. Это означает, что если дано число \(a\), то его взаимно обратное число \(b\) должно удовлетворять условию \(a \cdot b = 1\). В случае, когда число \(a\) представлено в виде дроби \(\frac{p}{q}\) (где \(p \neq 0\)), его взаимно обратное число получается путем «переворачивания» дроби, то есть \(\frac{q}{p}\). Для целого числа \(n\), которое можно представить как \(\frac{n}{1}\), взаимно обратным будет \(\frac{1}{n}\). Важно отметить, что число \(0\) не имеет взаимно обратного, так как произведение любого числа на \(0\) всегда равно \(0\), а не \(1\).

Рассмотрим первый пример из списка: \(\frac{3}{7}\) и \(2\frac{1}{3}\). Для того чтобы проверить, являются ли эти числа взаимно обратными, необходимо сначала преобразовать смешанное число \(2\frac{1}{3}\) в неправильную дробь. Смешанное число \(2\frac{1}{3}\) означает \(2 + \frac{1}{3}\). Приводя к общему знаменателю, получаем \(\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\). Теперь, когда оба числа представлены в виде обыкновенных дробей, \(\frac{3}{7}\) и \(\frac{7}{3}\), мы можем вычислить их произведение: \(\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}\). При умножении дробей числители перемножаются, и знаменатели перемножаются: \(\frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 3} = \frac{21}{21}\). Сокращая дробь, получаем \(1\). Таким образом, числа \(\frac{3}{7}\) и \(2\frac{1}{3}\) являются взаимно обратными, что подтверждает корректность записи в исходном примере: \(\frac{3}{7}\) и \(2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}\).

Далее анализируем второй и третий примеры. Во втором примере даны числа \(1,1\) и \(\frac{10}{11}\). Десятичное число \(1,1\) необходимо представить в виде обыкновенной дроби. \(1,1\) читается как «одна целая и одна десятая», что в виде дроби записывается как \(1\frac{1}{10}\). Преобразуем это смешанное число в неправильную дробь: \(1\frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 10 + 1}{10} = \frac{11}{10}\). Теперь мы имеем пару дробей: \(\frac{11}{10}\) и \(\frac{10}{11}\). Их произведение равно \(\frac{11}{10} \cdot \frac{10}{11} = \frac{11 \cdot 10}{10 \cdot 11} = \frac{110}{110} = 1\). Следовательно, числа \(1,1 = \frac{11}{10}\) и \(\frac{10}{11}\) являются взаимно обратными. В третьем примере рассматриваются числа \(5\) и \(\frac{1}{5}\). Число \(5\) — это целое число. Его взаимно обратное число, согласно правилу, должно быть \(\frac{1}{5}\). Произведение \(5 \cdot \frac{1}{5} = \frac{5}{1} \cdot \frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 1}{1 \cdot 5} = \frac{5}{5} = 1\). Также в примере указано, что \(\frac{1}{5} = 0,2\), что является верным десятичным представлением дроби. Все три примера демонстрируют пары взаимно обратных чисел, произведение которых равно \(1\).