ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 45 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Вычислите устно:

а) \( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \)

\( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \)

\( 1 — \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \)

\( \frac{4}{7} : 5 = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{35} \)

б) \( 6 \cdot \frac{1}{3} = 2 \)

\( 2 — \frac{1}{5} = 1 \frac{4}{5} \)

\( 1 \frac{4}{5} : 4 = \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{20} \)

\( \frac{9}{20} + \frac{3}{5} = \frac{9}{20} + \frac{12}{20} = \)

\( = \frac{21}{20} = 1 \frac{1}{20} \)

в) \( \frac{6}{7} : \frac{2}{7} = \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{2} = 3 \)

\( 3 \cdot \frac{2}{3} = 2 \)

\( 2 + \frac{1}{4} = 2 \frac{1}{4} \)

\( 2 \frac{1}{4} : 9 = \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{4} \)

а) В первом примере \( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \), выполняется умножение двух обыкновенных дробей. Умножение дробей производится путем умножения числителей и умножения знаменателей: \( \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{6}{12} \). Затем дробь сокращается, так как и числитель, и знаменатель делятся на 6: \( \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2} \). Следующий пример — сложение дробей с одинаковыми знаменателями: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \). Складываются только числители, а знаменатель остается прежним: \( \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} \). Любая дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице, то есть \( \frac{2}{2} = 1 \). Далее идет вычитание дроби из единицы: \( 1 — \frac{3}{7} \). Для выполнения вычитания единицу необходимо представить в виде дроби со знаменателем 7, то есть \( 1 = \frac{7}{7} \). Тогда выражение принимает вид \( \frac{7}{7} — \frac{3}{7} \). Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями производится вычитанием числителей: \( \frac{7-3}{7} = \frac{4}{7} \). Последний пример в этой части — деление обыкновенной дроби на целое число: \( \frac{4}{7} : 5 \). Деление на целое число равносильно умножению на обратную ему дробь, то есть \( 5 = \frac{5}{1} \), а обратная дробь — \( \frac{1}{5} \). Таким образом, \( \frac{4}{7} : 5 = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{5} \). Умножение дробей дает \( \frac{4 \cdot 1}{7 \cdot 5} = \frac{4}{35} \).

б) В первой части раздела «б)» выполняется умножение целого числа на дробь: \( 6 \cdot \frac{1}{3} \). Целое число 6 можно представить как дробь \( \frac{6}{1} \). Умножение дробей: \( \frac{6}{1} \cdot \frac{1}{3} = \frac{6 \cdot 1}{1 \cdot 3} = \frac{6}{3} \). Дробь \( \frac{6}{3} \) представляет собой деление 6 на 3, что равно 2. Следующий шаг — вычитание дроби из целого числа: \( 2 — \frac{1}{5} \). Для вычитания целое число 2 представляется как смешанное число, чтобы можно было вычесть дробную часть. Представим 2 как \( 1 + 1 \), а единицу как \( \frac{5}{5} \). Тогда \( 2 = 1 + \frac{5}{5} = 1 \frac{5}{5} \). Вычитание: \( 1 \frac{5}{5} — \frac{1}{5} \). Вычитаются только дробные части: \( 1 + (\frac{5}{5} — \frac{1}{5}) = 1 + \frac{4}{5} = 1 \frac{4}{5} \). Затем идет деление смешанного числа на целое число: \( 1 \frac{4}{5} : 4 \). Сначала смешанное число переводится в неправильную дробь: \( 1 \frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5} \). Деление на 4 заменяется умножением на \( \frac{1}{4} \): \( \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{9 \cdot 1}{5 \cdot 4} = \frac{9}{20} \).

Последний пример в разделе «б)» — сложение дробей с разными знаменателями: \( \frac{9}{20} + \frac{3}{5} \). Для сложения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 20 и 5 — это 20. Дробь \( \frac{3}{5} \) приводится к знаменателю 20 путем умножения числителя и знаменателя на 4: \( \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20} \). Теперь можно выполнить сложение: \( \frac{9}{20} + \frac{12}{20} = \frac{9+12}{20} = \frac{21}{20} \). Полученная неправильная дробь \( \frac{21}{20} \) переводится в смешанное число. 21 делится на 20, получается 1 целая и остаток 1. Таким образом, \( \frac{21}{20} = 1 \frac{1}{20} \).

в) В разделе «В)» первый пример — деление дробей с одинаковыми знаменателями: \( \frac{6}{7} : \frac{2}{7} \). Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь: \( \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{2} \). При умножении можно сократить 7 в числителе и знаменателе: \( \frac{6}{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{2} \). Деление 6 на 2 дает 3. Далее идет умножение целого числа на дробь: \( 3 \cdot \frac{2}{3} \). Представляем 3 как \( \frac{3}{1} \): \( \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{3} \). Сокращаем 3 в числителе и знаменателе: \( \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} = 2 \). Следующий пример — сложение целого числа и дроби: \( 2 + \frac{1}{4} \). Это просто записывается как смешанное число: \( 2 \frac{1}{4} \). Последний пример — деление смешанного числа на целое число: \( 2 \frac{1}{4} : 9 \). Сначала смешанное число переводится в неправильную дробь: \( 2 \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4} \). Деление на 9 заменяется умножением на \( \frac{1}{9} \): \( \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{9} \). Сокращаем 9 в числителе и знаменателе: \( \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{4} \).