ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 308 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Проверьте, что верно равенство:
а) \(0,444…=\frac{4}{9}\);
б) \(0,3(5)=\frac{16}{45}\).

а) \(0,\overline{4}=\frac{4}{9}\), так как \(0,\overline{4}=\frac{4}{10-1}=\frac{4}{9}\) — верно.

б) Пусть \(x=0,3(5)=0,3555\ldots\). Тогда \(10x=3,5555\ldots\), \(100x=35,5555\ldots\), откуда \(100x-10x=35,5555\ldots-3,5555\ldots=32\), значит \(90x=32\) и \(x=\frac{32}{90}=\frac{16}{45}\) — верно.

а) \(0,444\ldots\) — это бесконечная периодическая десятичная дробь, где после запятой всё время повторяется цифра \(4\). Такую запись удобно понимать как сумму: \(0,444\ldots=0,4+0,04+0,004+\ldots\). Каждое следующее слагаемое в \(10\) раз меньше предыдущего, значит это геометрическая прогрессия с первым членом \(a_1=0,4\) и знаменателем \(q=\frac{1}{10}\).

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при \(|q|<1\) равна \(S=\frac{a_1}{1-q}\). Подставляем: \(S=\frac{0,4}{1-\frac{1}{10}}=\frac{0,4}{\frac{9}{10}}=0,4\cdot\frac{10}{9}=\frac{4}{9}\). Значит \(0,444\ldots=\frac{4}{9}\), поэтому утверждение \(0,444\ldots=\frac{4}{9}\) — верно.

б) Запись \(0,3(5)\) означает число \(0,3555\ldots\): после запятой сначала стоит цифра \(3\), а затем бесконечно повторяется цифра \(5\). Обозначим это число за \(x\): \(x=0,3(5)=0,3555\ldots\). Идея метода в том, чтобы умножениями на \(10\) сдвинуть запятую так, чтобы период стал «совпадать», а затем вычесть, убрав бесконечный хвост.

Умножим на \(10\): \(10x=3,5555\ldots\) (период \(5\) теперь начинается сразу после запятой). Умножим на \(100\): \(100x=35,5555\ldots\). Теперь вычтем: \(100x-10x=35,5555\ldots-3,5555\ldots\). Справа одинаковые бесконечные части \(,5555\ldots\) сокращаются, остаётся \(90x=32\), откуда \(x=\frac{32}{90}=\frac{16}{45}\). Значит \(0,3(5)=\frac{16}{45}\), поэтому равенство \(0,3(5)=\frac{16}{45}\) — верно.