ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 299 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Может ли быть верным равенство \(a:b=b:a\)?

Как доказать, что утверждение «Равенство \(a:b=b:a\) верно при любых значениях \(a\) и \(b\)» несправедливо?

Равенство \(a:b=b:a\) верно только при \(a=b\).

Если \(a\ne b\), то равенство неверно.

Например, \(a=15\), \(b=5\): \(a:b=b:a\).

\(15:5=5:15\).

\(3\ne \frac{1}{3}\).

Равенство \(a:b=b:a\) означает равенство двух отношений, то есть \(\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\) (при \(a\ne 0\) и \(b\ne 0\), чтобы деление было определено). Чтобы понять, когда это возможно, удобно перейти от записи с двоеточием к дробям, потому что отношение \(a:b\) — это то же самое, что \(\frac{a}{b}\). Тогда сравниваются две дроби: первая показывает, во сколько раз \(a\) больше \(b\), а вторая — во сколько раз \(b\) больше \(a\).

Из равенства \(\frac{a}{b}=\frac{b}{a}\) можно убрать знаменатели, перемножив крест-накрест: \(a\cdot a=b\cdot b\), то есть \(a^2=b^2\). Это означает, что числа \(a\) и \(b\) имеют одинаковые квадраты, а в простейшем школьном случае для положительных чисел это дает \(a=b\). Поэтому равенство \(a:b=b:a\) верно только при \(a=b\); если \(a\ne b\), то отношения оказываются разными, потому что одно из них больше 1, а другое меньше 1 (когда \(a\) и \(b\) различны и положительны).

Например, при \(a=15\), \(b=5\) получаем \(a:b=b:a\), то есть \(15:5=5:15\). Переводим в дроби: \(\frac{15}{5}=\frac{5}{15}\). Считаем обе стороны: \(\frac{15}{5}=3\), а \(\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\), поэтому выходит \(3\ne \frac{1}{3}\), значит равенство \(15:5=5:15\) неверно, и это подтверждает правило, что при \(a\ne b\) равенство \(a:b=b:a\) не выполняется.