ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 298 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

При каких значениях \(m\) верно равенство:

а) \(|m|=m\);

б) \(|m|=-m\);

в) \(-m=|-m|\);

г) \(m=|-m|\);

д) \(m=-m\);

е) \(m+|m|=0\);

ж) \(m+|m|=2m\);

з) \(m-|m|=2m\)?

а) При \(m\ge 0\) \(|m|=m\), при \(m<0\) \(|m|=-m\ne m\). Следовательно, \(m\ge 0\).

б) При \(m\le 0\) \(|m|=-m\), при \(m>0\) \(|m|=m\ne -m\). Следовательно, \(m\le 0\).

в) \(|-m|=|m|\). При \(m\le 0\) \(|-m|=-m\), при \(m>0\) \(|-m|=m\ne -m\). Следовательно, \(m\le 0\).

г) \(|-m|=|m|\). При \(m\ge 0\) \(|-m|=m\), при \(m<0\) \(|-m|=-m\ne m\). Следовательно, \(m\ge 0\).

д) \(m+|m|=m-|m|\Rightarrow 2|m|=0\Rightarrow |m|=0\Rightarrow m=0\).

е) \(m+|m|=0\). Если \(m\le 0\), то \(|m|=-m\Rightarrow m+|m|=m-m=0\); если \(m>0\), то \(m+|m|=2m\ne 0\). Следовательно, \(m\le 0\).

ж) \(m+|m|=2m\Rightarrow |m|=m\Rightarrow m\ge 0\).

з) \(m-|m|=2m\Rightarrow -|m|=m\Rightarrow |m|=-m\Rightarrow m\le 0\).

а) Используем определение модуля: \(|m|=m\) при \(m\ge 0\) и \(|m|=-m\) при \(m<0\). Поэтому равенство \(|m|=m\) заведомо выполняется на всей области \(m\ge 0\), потому что там модуль не меняет число.

Если \(m<0\), то по определению \(|m|=-m\). Тогда условие \(|m|=m\) превращается в \(-m=m\), откуда \(2m=0\) и \(m=0\), но это противоречит \(m<0\). Значит, при отрицательных \(m\) равенство невозможно, и остаётся только \(m\ge 0\).

б) Снова опираемся на кусочное определение: при \(m\le 0\) имеем \(|m|=-m\), то есть равенство \(|m|=-m\) выполняется автоматически на всей области \(m\le 0\). Это напрямую следует из того, что модуль делает отрицательное число положительным, меняя знак.

Проверим, может ли равенство быть при \(m>0\). Тогда \(|m|=m\), и условие \(|m|=-m\) даёт \(m=-m\), откуда \(2m=0\) и \(m=0\), но это противоречит \(m>0\). Следовательно, решение только при \(m\le 0\).

в) Замечаем, что \(|-m|=|m|\) для любого \(m\), потому что модуль убирает знак. Условие \(-m=|-m|\) можно рассматривать как \(-m=|m|\), и дальше удобно разобрать по знаку \(m\).

Если \(m\le 0\), то \(-m\ge 0\), и число \(-m\) неотрицательное, значит \(|-m|=-m\). Тогда равенство \(-m=|-m|\) выполняется без дополнительных ограничений. Если же \(m>0\), то \(-m<0\), поэтому \(|-m|=m\), и условие превращается в \(-m=m\), что даёт только \(m=0\), но это не подходит при \(m>0\). Значит, \(m\le 0\).

г) Здесь условие \(m=|-m|\) снова сводится к сравнению \(m\) с модулем. Так как \(|-m|=|m|\), фактически требуется \(m=|m|\), а это и есть стандартный признак неотрицательности.

Распишем по случаям. При \(m\ge 0\) имеем \(|-m|=m\), потому что \(-m\le 0\) и \(|-m|=-(-m)=m\), значит равенство верно. При \(m<0\) получаем \(|-m|=-m\) (так как \(-m>0\)), и условие \(m=|-m|\) становится \(m=-m\), откуда \(m=0\), что противоречит \(m<0\). Следовательно, \(m\ge 0\).

д) Дано равенство \(m+|m|=m-|m|\). Здесь удобно перенести одинаковые части: вычитаем \(m\) из обеих частей и получаем \(|m|=-|m|\). Это означает, что число \(|m|\) равно своему отрицанию.

Складываем \(|m|\) с \(|m|\): получаем \(2|m|=0\), значит \(|m|=0\). Модуль равен нулю только тогда, когда само число равно нулю, поэтому \(m=0\).

е) Условие \(m+|m|=0\) удобно анализировать по знаку \(m\), потому что модуль задаётся двумя формулами. Если \(m\le 0\), то \(|m|=-m\), и подстановка даёт \(m+|m|=m+(-m)=0\), то есть равенство выполняется при любом \(m\le 0\).

Если \(m>0\), то \(|m|=m\), и тогда \(m+|m|=m+m=2m\). Чтобы было \(2m=0\), нужно \(m=0\), но это не подходит для \(m>0\). Поэтому все решения лежат в области \(m\le 0\).

ж) Дано \(m+|m|=2m\). Вычитаем \(m\) из обеих частей: \(|m|=m\). Это сводит задачу к определению, при каких \(m\) модуль равен самому числу.

По определению, \(|m|=m\) выполняется тогда и только тогда, когда \(m\ge 0\). Проверка по случаям: при \(m\ge 0\) \(|m|=m\) и равенство верно, при \(m<0\) \(|m|=-m\), и получаем \(-m=m\), что возможно только при \(m=0\), но это не относится к \(m<0\). Значит, \(m\ge 0\).

з) Условие \(m-|m|=2m\) преобразуем так, чтобы выделить модуль: вычитаем \(m\) из обеих частей и получаем \(-|m|=m\). Эквивалентно можно написать \(|m|=-m\), домножив обе части на \(-1\).

Равенство \(|m|=-m\) по определению выполняется тогда и только тогда, когда \(m\le 0\). Действительно, при \(m\le 0\) \(|m|=-m\) и условие верно, а при \(m>0\) \(|m|=m\), тогда \(-|m|=-m\) и исходное равенство даёт \(m-m=2m\), то есть \(0=2m\) и \(m=0\), что противоречит \(m>0\). Следовательно, \(m\le 0\).