ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 293 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Проверьте, что следующие равенства верны:

а) \(0,222…=\frac{2}{9}\);

б) \(5,(6)=5\frac{2}{3}\);

в) \(0,818181…=\frac{9}{11}\);

г) \(0,(06)=\frac{2}{33}\);

д) \(0,4666…=\frac{7}{15}\);

е) \(2,8(12)=2\frac{134}{165}\).

а) Пусть \(x=0,222\ldots\). Тогда \(10x=2,222\ldots\), значит \(10x-x=2\), откуда \(x=\frac{2}{9}\) — верно.

б) \(5,(6)=5+0,(6)\), а \(0,(6)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\), значит \(5,(6)=5\frac{2}{3}\) — верно.

в) Пусть \(x=0,818181\ldots\). Тогда \(100x=81,818181\ldots\), значит \(100x-x=81\), откуда \(x=\frac{81}{99}=\frac{9}{11}\) — верно.

г) Пусть \(x=0,(06)=0,060606\ldots\). Тогда \(100x=6,060606\ldots\), значит \(100x-x=6\), откуда \(x=\frac{6}{99}=\frac{2}{33}\) — верно.

д) \(0,4666\ldots=0,4+0,0666\ldots=\frac{2}{5}+\frac{6}{90}=\frac{2}{5}+\frac{1}{15}=\frac{7}{15}\) — верно.

е) Пусть \(x=2,8(12)=2,8121212\ldots\). Тогда \(10x=28,121212\ldots\), \(100(10x)=2812,121212\ldots\), значит \(100(10x)-10x=2784\), откуда \(10x=\frac{2784}{99}=\frac{928}{33}\) и \(x=\frac{928}{330}=\frac{464}{165}=2\frac{134}{165}\) — верно.

а) Обозначим \(x=0,222\ldots\). Здесь после запятой бесконечно повторяется одна и та же цифра \(2\), поэтому удобно сдвинуть запятую на один разряд вправо, умножив на \(10\), чтобы период «совпал сам с собой».

Получаем \(10x=2,222\ldots\). Теперь вычитаем из этого равенства исходное: \(10x-x=2,222\ldots-0,222\ldots\). Бесконечные хвосты \(0,222\ldots\) сокращаются, остаётся \(9x=2\), значит \(x=\frac{2}{9}\). Следовательно, \(0,222\ldots=\frac{2}{9}\) — верно.

б) Запись \(5,(6)\) означает \(5,666\ldots\), то есть целая часть равна \(5\), а дробная часть — периодическая \(0,(6)=0,666\ldots\). Поэтому сначала отделяем целую часть: \(5,(6)=5+0,(6)\).

Далее переводим \(0,(6)\) в дробь. Обозначим \(y=0,(6)\). Тогда \(10y=6,(6)\), и при вычитании \(10y-y=6,(6)-0,(6)\) периодическая часть сокращается, получаем \(9y=6\), значит \(y=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\). Тогда \(5,(6)=5+\frac{2}{3}=5\frac{2}{3}\) — верно.

в) Обозначим \(x=0,818181\ldots\). Здесь период состоит из двух цифр \(81\), поэтому нужно сдвинуть запятую на \(2\) разряда, умножив на \(100\), чтобы повторяющийся блок полностью совпал при вычитании.

Имеем \(100x=81,818181\ldots\). Вычитаем исходное: \(100x-x=81,818181\ldots-0,818181\ldots\). Периодические части после запятой одинаковые и сокращаются, остаётся \(99x=81\), значит \(x=\frac{81}{99}\). Сокращаем на \(9\): \(x=\frac{9}{11}\). Следовательно, \(0,818181\ldots=\frac{9}{11}\) — верно.

г) Обозначим \(x=0,(06)=0,060606\ldots\). Период — две цифры \(06\), значит снова удобно умножить на \(100\), чтобы период сдвинулся на целое число периодов и совпал при вычитании.

Получаем \(100x=6,060606\ldots\). Вычитаем \(x\): \(100x-x=6,060606\ldots-0,060606\ldots\). Дробная периодическая часть сокращается, остаётся \(99x=6\), значит \(x=\frac{6}{99}\). Сокращаем на \(3\): \(x=\frac{2}{33}\). Следовательно, \(0,(06)=\frac{2}{33}\) — верно.

д) Число \(0,4666\ldots\) удобно разбить на сумму конечной и периодической частей: \(0,4666\ldots=0,4+0,0666\ldots\). Так проще, потому что \(0,4\) сразу переводится в дробь, а \(0,0666\ldots\) сводится к простому периоду \(0,(6)\).

Переводим по шагам: \(0,4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\). Для второй части заметим, что \(0,0666\ldots=\frac{0,666\ldots}{10}=\frac{0,(6)}{10}\). А \(0,(6)=\frac{2}{3}\), значит \(0,0666\ldots=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{10}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\). Тогда \(0,4666\ldots=\frac{2}{5}+\frac{1}{15}=\frac{6}{15}+\frac{1}{15}=\frac{7}{15}\) — верно.

е) Обозначим \(x=2,8(12)=2,8121212\ldots\). Здесь есть непериодическая часть \(2,8\) (одна цифра после запятой до начала периода) и период \(12\) (две цифры). Чтобы период «совпал», сначала сдвигаем запятую так, чтобы период начался сразу после запятой: умножаем на \(10\).

Получаем \(10x=28,121212\ldots\), где уже сразу после запятой начинается период \(12\). Теперь, чтобы убрать период, сдвигаем ещё на длину периода \(2\) разряда: \(100(10x)=1000x=2812,121212\ldots\). Вычитаем \(10x\): \(1000x-10x=2812,121212\ldots-28,121212\ldots\). Периодическая часть сокращается, остаётся \(990x=2784\), значит \(x=\frac{2784}{990}\). Сокращаем на \(6\): \(x=\frac{464}{165}\), а как смешанное число это \(2\frac{134}{165}\). Следовательно, \(2,8(12)=2\frac{134}{165}\) — верно.