ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 292 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Какие из дробей \(\frac{3}{5},\ \frac{17}{24},\ \frac{18}{35},\ \frac{14}{35},\ \frac{7}{200},\ \frac{23}{40},\ \frac{5}{9},\ \frac{7}{18},\ \frac{9}{24},\ \frac{5}{64}\) можно представить в виде десятичной дроби?

В виде десятичной дроби можно представить те обыкновенные дроби, которые после сокращения содержат в знаменателе только простые множители \(2\) и \(5\).

\(\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=0{,}6\).

\(\frac{14}{35}=\frac{2}{5}=\frac{4}{10}=0{,}4\).

\(\frac{7}{200}=\frac{35}{1000}=0{,}035\).

\(\frac{23}{40}=\frac{23\cdot 25}{40\cdot 25}=\frac{575}{1000}=0{,}575\).

\(\frac{9}{24}=\frac{3}{8}=\frac{3\cdot 125}{8\cdot 125}=\frac{375}{1000}=0{,}375\).

\(\frac{5}{64}=0{,}078125\).

а) После сокращения знаменатель \(\frac{3}{5}\) равен \(5\), то есть содержит только простой множитель \(5\). Поэтому дробь можно перевести в десятичную, приведя знаменатель к \(10\), чтобы получить разряд десятых.

Для этого умножаем числитель и знаменатель на \(2\): \(\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{6}{10}=0{,}6\). Так как \(\frac{6}{10}\) — это \(6\) десятых, запись получается \(0{,}6\).

б) Сначала сокращаем дробь \(\frac{14}{35}\), потому что так проще увидеть вид знаменателя. Общий делитель \(7\): \(\frac{14}{35}=\frac{14:7}{35:7}=\frac{2}{5}\). В знаменателе остался только множитель \(5\), значит, десятичная запись будет конечной.

Далее приводим к знаменателю \(10\): \(\frac{2}{5}=\frac{2\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{4}{10}=0{,}4\). Здесь \(\frac{4}{10}\) — это \(4\) десятых, поэтому получаем \(0{,}4\).

в) Дробь \(\frac{7}{200}\) уже имеет знаменатель \(200\), а \(200=2^3\cdot 5^2\), то есть в разложении присутствуют только \(2\) и \(5\). Значит, дробь можно представить конечной десятичной, приведя знаменатель к \(1000\) (удобно, потому что \(1000=10^3\)).

Чтобы получить \(1000\) в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на \(5\): \(\frac{7}{200}=\frac{7\cdot 5}{200\cdot 5}=\frac{35}{1000}=0{,}035\). Так как \(\frac{35}{1000}\) — это \(35\) тысячных, получаем \(0{,}035\).

г) У дроби \(\frac{23}{40}\) знаменатель \(40=2^3\cdot 5\), то есть снова только множители \(2\) и \(5\). Чтобы записать десятичную дробь, удобно привести знаменатель к \(1000\), потому что это даёт разряд тысячных и позволяет сразу прочитать запись.

Для перехода к \(1000\) нужно домножить \(40\) на \(25\), так как \(40\cdot 25=1000\). Тогда \(\frac{23}{40}=\frac{23\cdot 25}{40\cdot 25}=\frac{575}{1000}=0{,}575\). Здесь \(\frac{575}{1000}\) — это \(575\) тысячных, значит десятичная запись \(0{,}575\).

д) Дробь \(\frac{9}{24}\) сначала сокращаем, чтобы упростить знаменатель: общий делитель \(3\). Получаем \(\frac{9}{24}=\frac{9:3}{24:3}=\frac{3}{8}\). Знаменатель \(8=2^3\), то есть содержит только простое \(2\), поэтому десятичная запись будет конечной.

Чтобы получить знаменатель \(1000\), умножаем \(8\) на \(125\), так как \(8\cdot 125=1000\). Тогда \(\frac{3}{8}=\frac{3\cdot 125}{8\cdot 125}=\frac{375}{1000}=0{,}375\). Поскольку \(\frac{375}{1000}\) — это \(375\) тысячных, получается \(0{,}375\).

е) В дроби \(\frac{5}{64}\) знаменатель \(64=2^6\), то есть после сокращения в знаменателе есть только множитель \(2\). Это гарантирует конечную десятичную запись, потому что можно привести знаменатель к степени десяти (через домножение на подходящее число).

Здесь удобно выполнить деление или поэтапное деление на \(2\): \(\frac{5}{64}=0{,}078125\). Это значение соответствует тому, что при делении \(5\) на \(2^6\) получается число с конечным количеством знаков после запятой, так как знаменатель — степень двойки.