ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 2 Номер 276 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Проверьте на примерах справедливость равенства \(|ab|=|a|\cdot|b|\). Попробуйте доказать, что это равенство верно при любых значениях \(a\) и \(b\).

\(|ab|=|a|\cdot|b|\).

1) при \(a>0,\ b>0\): \(|ab|=|a|\cdot|b|\), \(ab=ab\).
Например: \(a=7,\ b=5\): \(|7\cdot5|=|7|\cdot|5|\), \(|35|=7\cdot5\), \(35=35\).

2) при \(a>0,\ b<0\): \(|a\cdot(-b)|=|a|\cdot|-b|\), \(|-ab|=a\cdot b\), \(ab=ab\). Например: \(a=7,\ b=-5\): \(|7\cdot(-5)|=|7|\cdot|-5|\), \(|-35|=7\cdot5\), \(35=35\). 3) при \(a<0,\ b>0\): \(|-a\cdot b|=|-a|\cdot|b|\), \(|-ab|=a\cdot b\), \(ab=ab\).
Например: \(a=-7,\ b=5\): \(|-7\cdot5|=|-7|\cdot|5|\), \(|-35|=7\cdot5\), \(35=35\).

4) при \(a<0,\ b<0\): \(|-a\cdot(-b)|=|-a|\cdot|-b|\), \(|ab|=a\cdot b\), \(ab=ab\). Например: \(a=-7,\ b=-5\): \(|-7\cdot(-5)|=|-7|\cdot|-5|\), \(|35|=7\cdot5\), \(35=35\).

а) при \(a>0,\ b>0\): здесь оба числа положительные, поэтому их произведение \(ab\) тоже положительное. Для положительного числа модуль не меняет значение, то есть \(|a|=a\), \(|b|=b\) и \(|ab|=ab\).

Тогда равенство \(|ab|=|a|\cdot|b|\) превращается в \(ab=a\cdot b\), то есть совпадает с обычным произведением без каких-либо изменений. Пример из фото: при \(a=7,\ b=5\) получаем \(|7\cdot5|=|7|\cdot|5|\), далее \(|35|=7\cdot5\), и потому \(35=35\).

б) при \(a>0,\ b<0\): первое число положительное, второе отрицательное, значит произведение \(ab\) отрицательное. Модуль убирает знак «минус», поэтому \(|ab|=|-ab|\) и это будет положительное число. Также \(|a|=a\), а \(|b|=|-b|\), потому что \(b<0\) и число \(-b\) уже положительное. В записи, как на фото, удобно выделить \(-b\): \(|a\cdot(-b)|=|a|\cdot|-b|\). Поскольку \(a>0\) и \(-b>0\), левая часть — модуль произведения двух положительных чисел, а значит \(|a\cdot(-b)|=a\cdot(-b)\). Но \(a\cdot(-b)=-(ab)\), поэтому получается \(|-ab|=a\cdot b\), и в итоге равенство верно. Пример: \(a=7,\ b=-5\): \(|7\cdot(-5)|=|7|\cdot|-5|\), \(|-35|=7\cdot5\), \(35=35\).

в) при \(a<0,\ b>0\): теперь отрицательное \(a\) и положительное \(b\), поэтому произведение \(ab\) снова отрицательное. Модуль превращает его в положительное значение, то есть \(|ab|=|-ab|\). При этом \(|a|=|-a|\), потому что \(-a>0\), и \(|b|=b\), так как \(b>0\).

Как в примере, удобно рассматривать произведение \(-a\cdot b\): \(|-a\cdot b|=|-a|\cdot|b|\). Здесь \(-a>0\) и \(b>0\), значит \(|-a\cdot b|=(-a)\cdot b\). Но \((-a)\cdot b=-(ab)\), поэтому получаем \(|-ab|=a\cdot b\), что соответствует записи на фото, и равенство выполняется. Пример: \(a=-7,\ b=5\): \(|-7\cdot5|=|-7|\cdot|5|\), \(|-35|=7\cdot5\), \(35=35\).

г) при \(a<0,\ b<0\): оба числа отрицательные, поэтому произведение \(ab\) положительное. Для положительного результата модуль ничего не меняет, то есть \(|ab|=ab\). Кроме того, \(|a|=|-a|\) и \(|b|=|-b|\), так как \(-a>0\) и \(-b>0\).

Запись, как на фото, строится через \(-a\) и \(-b\): \(|-a\cdot(-b)|=|-a|\cdot|-b|\). Поскольку оба множителя \(-a\) и \(-b\) положительные, модуль слева равен самому произведению: \(|-a\cdot(-b)|=(-a)\cdot(-b)\). А \((-a)\cdot(-b)=ab\), значит \(|ab|=a\cdot b\), что и требовалось. Пример: \(a=-7,\ b=-5\): \(|-7\cdot(-5)|=|-7|\cdot|-5|\), \(|35|=7\cdot5\), \(35=35\).