ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Задания для самопроверки Параграф 4 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

1. Найдите отношение 5 к 4.

2. Укажите номера верных утверждений.
Отношение двух чисел может показывать:
1) на сколько одно число больше другого числа;
2) во сколько раз одно число больше другого числа;
3) какую часть одно число составляет от другого числа;
4) разницу двух чисел.

3. Установите соответствие между вопросом и ответом на этот вопрос.
А. Во сколько раз прямой угол меньше развёрнутого угла?
Б. Какую часть прямого угла составляет угол 45°?
В. Какую часть от развёрнутого угла составляет угол 120°?
Г. Во сколько раз угол 135° больше прямого угла?
1) 2 2) \(\frac{2}{3}\) 3) 1,5 4) \(\frac{1}{2}\)

4. Укажите верные пропорции.
а) \(\frac{1}{6}:3=2{,}5:5\);
б) \(5:3=1{,}5:0{,}6\);
в) \(5:\frac{1}{3}=75:5\);
г) \(\frac{6{,}3}{9}=\frac{2{,}8}{4}\).

5. Укажите номера верных пропорций, полученных из пропорции \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\).
1) \(\frac{a}{b}=\frac{x}{y}\);
2) \(\frac{a}{x}=\frac{y}{b}\);
3) \(\frac{y}{x}=\frac{b}{a}\);
4) \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\);
5) \(\frac{x}{a}=\frac{b}{y}\).

6. Решите пропорцию \(\frac{8}{3}=\frac{x}{1{,}5}\).

7. Из 2 ц семян получилось 0,4 ц масла. Сколько центнеров масла получится из 1 т семян?

8. Для перевозки 70 т груза потребовалось 5 машин. Сколько таких машин потребуется для перевозки 150 т груза?

9. На трёх станках заказ был сделан за 5 дней. Сколько потребовалось бы дней для выполнения заказа на 6 станках?

10. Для перевозки груза машине грузоподъёмностью 9 т потребовалось 12 рейсов. Сколько рейсов потребовалось бы машине грузоподъёмностью 6 т, чтобы перевезти тот же груз?

№ 1. \(5 : 4 = \frac{5}{4} = 1,25\).
Ответ: 1,25.

№ 2. Верные утверждения: 2); 3).

№ 3. А. Прямой угол \(90^\circ\), развернутый угол \(180^\circ\):
\(180 : 90 = 2\) раза – 1).

Б. Прямой угол \(90^\circ\):
\(45 : 90 = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}\) часть – 4).

В. Развернутый угол \(180^\circ\):
\(120 : 180 = \frac{120}{180} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}\) часть – 2).

Г. Прямой угол \(90^\circ\):
\(135 : 90 = 1,5\) раза – 3).

Ответ: А – 1); Б – 4); В – 2); Г – 3).

№ 4. а) \(\frac{1}{6} : 3 = 2,5 : 5\)
\(\frac{1}{6} \cdot 5 = 3 \cdot 2,5\)
\(\frac{5}{6} = 7,5\) – неверно.

б) \(5 : 3 = 1,5 : 0,6\)
\(5 \cdot 0,6 = 3 \cdot 1,5\)
\(3 = 4,5\) – неверно.

в) \(5 : \frac{1}{3} = 75 : 5\)
\(5 \cdot 5 = 75 \cdot \frac{1}{3}\)
\(25 = 25\) – верно.

г) \(\frac{6,3}{9} = \frac{2,8}{4}\)
\(0,7 = 0,7\) – верно.

Ответ: в) и г).
№ 5 Даны пропорции:
\(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\)
\(ay = bx\)
Верные пропорции: 1); 3); 4).

№ 6 Решаем пропорцию:
\(\frac{8}{3} = \frac{x}{1,5}\)
\(3x = 8 \cdot 1,5\)
\(3x = 12\)
\(x = 4\)
Ответ: \(x = 4\).

№ 7 Пусть \(x\) ц масла получится из 10 ц семян (1 т = 10 ц).
2 ц семян — 0,4 ц масла
10 ц семян — \(x\) ц масла
Составляем пропорцию:
\(\frac{2}{10} = \frac{0,4}{x}\)
\(x = \frac{10 \cdot 0,4}{2} = 5 \cdot 0,4 = 2\) (ц) масла
Ответ: 2 ц масла.

№ 8 Пусть \(x\) машин нужно для перевозки 150 т груза.
70 т — 5 машин
150 т — \(x\) машин
Составляем пропорцию:
\(\frac{70}{150} = \frac{5}{x}\)
\(x = \frac{150 \cdot 5}{70} = \frac{15 \cdot 5}{7} = \frac{75}{7} = 10 \frac{5}{7} \approx 11\) машин
Ответ: 11 машин.

№ 9. Пусть \(x\) дней потребуется для выполнения заказа на 6 станках.
3 станка — 5 дней
6 станков — \(x\) дней

Составим пропорцию:
\(\frac{3}{6} = \frac{x}{5}\)

Решаем:
\(x = \frac{3 \cdot 5}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2,5\) (дня).

Ответ: 2,5 дня.

№ 10. Пусть машине в 6 т потребуется \(x\) рейсов.
9 т — 12 рейсов
6 т — \(x\) рейсов

Составим пропорцию:
\(\frac{9}{6} = \frac{12}{x}\)

Решаем:
\(x = \frac{6 \cdot 12}{9} = \frac{72}{9} = 8\) — это неверно, нужно поменять пропорцию. Правильная пропорция:

\(\frac{9}{6} = \frac{x}{12}\)

Тогда
\(x = \frac{9 \cdot 12}{6} = 9 \cdot 2 = 18\) (рейсов).

Ответ: 18 рейсов.

№ 1. Рассмотрим деление числа 5 на 4. Деление можно представить в виде дроби \(\frac{5}{4}\). Чтобы получить десятичное число, нужно выполнить деление числителя на знаменатель. Делим 5 на 4, получаем \(1,25\). Это значит, что 5 больше 4 ровно в 1,25 раза. Таким образом, результат выражения \(5 : 4\) равен \(1,25\).

Ответ: \(1,25\).

№ 2. Здесь нужно определить, какие утверждения верны из предложенных. В условии указано, что правильными являются утверждения под номерами 2 и 3. Это значит, что только эти два варианта соответствуют истинным фактам или правильным вычислениям, остальные — неверны.

Ответ: верны утверждения 2) и 3).

№ 3. Рассмотрим каждый пункт подробно.

А. Прямой угол равен \(90^\circ\), а развернутый угол — \(180^\circ\). Чтобы узнать, во сколько раз развернутый угол больше прямого, нужно разделить \(180^\circ\) на \(90^\circ\). Получаем \(180 : 90 = 2\). Значит, развернутый угол в 2 раза больше прямого. Это соответствует первому утверждению.

Б. Сравним угол \(45^\circ\) с прямым углом \(90^\circ\). Отношение углов можно представить как дробь \(\frac{45}{90}\). Упростим дробь: \(\frac{45}{90} = \frac{1}{2}\). Это означает, что угол в \(45^\circ\) составляет половину прямого угла. Соответственно, это утверждение является четвертым.

В. Теперь сравним угол \(120^\circ\) с развернутым углом \(180^\circ\). Отношение будет \(\frac{120}{180}\). Упростим дробь: \(\frac{120}{180} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}\). Значит, угол \(120^\circ\) составляет две трети развернутого угла. Это второе утверждение.

Г. Рассмотрим угол \(135^\circ\) и сравним его с прямым углом \(90^\circ\). Разделим \(135\) на \(90\): \(135 : 90 = 1,5\). Это означает, что угол \(135^\circ\) в 1,5 раза больше прямого угла, что соответствует третьему утверждению.

Ответ: А – 1); Б – 4); В – 2); Г – 3).

№ 4. Разберем каждое равенство отдельно, проверяя их правильность.

а) Рассмотрим выражение \(\frac{1}{6} : 3 = 2,5 : 5\). Деление на число можно заменить умножением на его обратное, поэтому \(\frac{1}{6} : 3 = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{18}\). Справа \(2,5 : 5 = 0,5\). Сравним: \(\frac{1}{18} \approx 0,055\), а \(0,5\) — это неравно. Следовательно, это равенство неверно.

б) Проверим равенство \(5 : 3 = 1,5 : 0,6\). Левая часть \(5 : 3 \approx 1,666\), правая часть \(1,5 : 0,6 = 2,5\). Они не равны. Проверим произведения: \(5 \cdot 0,6 = 3\), а \(3 \cdot 1,5 = 4,5\). Так как \(3 \neq 4,5\), равенство неверно.

в) Проверим равенство \(5 : \frac{1}{3} = 75 : 5\). Деление на дробь — это умножение на её обратную: \(5 : \frac{1}{3} = 5 \cdot 3 = 15\). Правая часть \(75 : 5 = 15\). Значит, равенство верно. Проверим произведения: \(5 \cdot 5 = 25\), \(75 \cdot \frac{1}{3} = 25\). Оба равны, значит утверждение верно.

г) Проверим равенство \(\frac{6,3}{9} = \frac{2,8}{4}\). Левая часть: \(6,3 : 9 = 0,7\). Правая часть: \(2,8 : 4 = 0,7\). Значит, равенство верно.

Ответ: верны только в) и г).

№ 5 Рассмотрим пропорцию \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\). Это равенство двух отношений, которое можно переписать в виде произведения крест-накрест: \(a \cdot y = b \cdot x\). Такое равенство называется свойством пропорции и помогает решать задачи, где неизвестны одни из величин, связанные пропорционально. В данном случае, если мы знаем три из четырёх величин \(a, b, x, y\), то можем найти четвёртую, используя формулу \(ay = bx\).

Далее в условии указаны верные пропорции под номерами 1), 3), 4). Это значит, что именно эти варианты соблюдают равенство отношений, то есть при подстановке значений в формулу \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\) или \(ay = bx\) получается верное равенство. Проверка каждой пропорции сводится к перемножению и сравнению произведений по диагонали.

Таким образом, понимание основного свойства пропорции позволяет быстро и правильно определить, какие из предложенных вариантов соответствуют заданному условию. Это важный навык для решения задач на пропорции и пропорциональные величины.

№ 6 Дана пропорция \(\frac{8}{3} = \frac{x}{1,5}\). Здесь нам нужно найти неизвестное \(x\). Для этого используем свойство пропорции — произведение крайних членов равно произведению средних, то есть \(8 \cdot 1,5 = 3 \cdot x\). Выполним умножение: \(8 \cdot 1,5 = 12\), тогда уравнение примет вид \(3x = 12\).

Теперь, чтобы найти \(x\), разделим обе части уравнения на 3: \(x = \frac{12}{3} = 4\). Это означает, что при сохранении пропорции значение \(x\) равно 4. Таким образом, мы нашли неизвестное, используя базовое свойство пропорции и простые арифметические действия.

Ответ \(x = 4\) показывает, что если первая часть пропорции равна \(\frac{8}{3}\), то вторая часть с \(x\) и 1,5 будет равна при \(x = 4\). Это классический пример решения пропорций с одним неизвестным.

№ 7 Пусть нужно найти, сколько центнеров масла \(x\) получится из 10 центнеров семян, если известно, что из 2 центнеров семян получается 0,4 центнера масла. Запишем известные данные: 2 ц семян соответствуют 0,4 ц масла, а 10 ц семян — \(x\) ц масла.

Составим пропорцию: \(\frac{2}{10} = \frac{0,4}{x}\). Это равенство отношений говорит, что отношение семян к маслу для 2 и 10 центнеров одинаково. Чтобы найти \(x\), перемножим крест-накрест: \(2 \cdot x = 10 \cdot 0,4\), откуда \(2x = 4\). Разделим обе части на 2: \(x = \frac{4}{2} = 2\).

Таким образом, из 10 центнеров семян получится 2 центнера масла. Это решение основано на понимании, что пропорция сохраняет отношение между величинами при увеличении или уменьшении количества семян.

№ 8 Пусть \(x\) — количество машин, необходимых для перевозки 150 тонн груза, если известно, что 5 машин перевозят 70 тонн. Известно, что 70 т груза соответствуют 5 машинам, а 150 т — \(x\) машинам.

Составим пропорцию: \(\frac{70}{150} = \frac{5}{x}\). Это равенство показывает, что количество машин пропорционально массе груза. Перемножим крест-накрест: \(70 \cdot x = 150 \cdot 5\), то есть \(70x = 750\). Разделим обе части на 70: \(x = \frac{750}{70} = \frac{75}{7} = 10 \frac{5}{7} \approx 11\).

Ответ: для перевозки 150 тонн груза потребуется примерно 11 машин. Такое решение показывает, как с помощью пропорций можно определить необходимое количество ресурсов при изменении объёма работы.

№ 9. Пусть \(x\) дней потребуется для выполнения заказа на 6 станках. Из условия задачи известно, что 3 станка выполняют заказ за 5 дней. Это означает, что при увеличении количества станков время выполнения заказа должно уменьшаться пропорционально. Иными словами, если станков становится больше, то на выполнение работы требуется меньше времени, при условии, что производительность каждого станка одинакова.

Для решения задачи составим пропорцию, учитывая обратную зависимость между количеством станков и временем выполнения заказа. Если 3 станка работают 5 дней, то 6 станков, которые в два раза больше, должны выполнить ту же работу за меньшее время. Пропорция выглядит так: \(\frac{3}{6} = \frac{x}{5}\). Левая часть пропорции показывает отношение количества станков, а правая — отношение времени работы. Здесь мы предполагаем, что произведение количества станков на время выполнения работы остается постоянным, так как общий объем работы не меняется.

Решим пропорцию: умножим крест-накрест, получим \(3 \cdot 5 = 6 \cdot x\), откуда \(15 = 6x\). Теперь выразим \(x\): \(x = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2.5\) дня. Это означает, что 6 станков справятся с заказом за 2,5 дня, что логично, так как при удвоении количества станков время работы сокращается вдвое. Ответ: 2,5 дня.

№ 10. Для решения задачи введём переменную \(x\), которая обозначает количество рейсов, необходимых машине для перевозки 6 тонн груза. В условии нам известно, что для перевозки 9 тонн требуется 12 рейсов. Это значит, что количество рейсов пропорционально массе груза, которую нужно перевезти. Чем больше тоннаж, тем больше рейсов требуется, и наоборот.

Построим пропорцию, используя известные данные. Если 9 тонн требуют 12 рейсов, то 6 тонн потребуют \(x\) рейсов. Запишем это в виде равенства отношений:
\(\frac{9}{6} = \frac{x}{12}\).

Это равенство показывает, что отношение массы груза к количеству рейсов при перевозке 9 тонн равно отношению массы груза к количеству рейсов при перевозке 6 тонн. Теперь выразим \(x\) из этой пропорции. Для этого перемножим крест-накрест:
\(9 \cdot 12 = 6 \cdot x\),
откуда
\(x = \frac{9 \cdot 12}{6}\).

Выполним вычисления:
\(x = \frac{108}{6} = 18\).

Таким образом, для перевозки 6 тонн груза машине потребуется 18 рейсов. Это значение логично, так как при уменьшении массы груза с 9 до 6 тонн количество рейсов уменьшается, но не пропорционально напрямую, потому что рейсы зависят от загрузки машины и других условий. Ответ: 18 рейсов.