ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Задания для самопроверки Параграф 3 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

1. Выберите верные утверждения:
а) При умножении дроби на натуральное число, надо числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.
б) При делении двух дробей надо дробь, обратную делимому, умножить на делитель.
в) Произведение правильных дробей является правильной дробью.
г) Два числа называют взаимно обратными, если их сумма равна нулю.

2. Сторона квадрата равна \( \frac{7}{16} \) м. Найдите периметр квадрата.

3. Одна сторона прямоугольника равна \( \frac{2}{5} \) м, а другая \( \frac{3}{4} \) м. Укажите все величины, которые соответствуют площади этого прямоугольника.
а) \( \frac{3}{10} \) м\(^2\); б) 30 дм\(^2\); в) 0,3 м\(^2\); г) 3 дм\(^2\).

4. Укажите номера верных равенств.
1) \(3\cdot \frac{7}{15}=\frac{3\cdot 7}{15}=\frac{7}{5}=1\frac{2}{5}\);
2) \(3\cdot \frac{7}{15}=\frac{3\cdot 7}{3\cdot 15}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}\);
3) \(\frac{7}{15}:3=\frac{7}{15\cdot 3}=\frac{7}{45}\);
4) \(3:\frac{7}{15}=\frac{3\cdot 15}{7}=\frac{45}{7}\);
5) \(3:\frac{7}{15}=\frac{7}{3\cdot 15}=\frac{7}{45}\).

5. Укажите пары взаимно обратных чисел.
а) \(3\frac{4}{9}\) и \(\frac{9}{32}\);
б) \(5\frac{3}{7}\) и \(\frac{7}{38}\);
в) 0,2 и 5;
г) \(1\frac{2}{3}\) и \(\frac{3}{2}\);
д) \(\frac{1}{3}\) и 3.

6. Установите соответствие между каждым выражением и его значением.

7. Решите уравнение \(3,5x=1\).

8. Найдите расстояние, которое проедет велосипедист за \(2\frac{1}{2}\) ч, если его скорость равна \(12\frac{1}{5}\) км/ч.

9. Лена отрезала 12 м тесьмы, что составило \( \frac{3}{4} \) длины всего мотка. Сколько метров тесьмы было в мотке?

10. При сушке лекарственных трав теряется 75% массы. Сколько сырья заготовили, если получено 7,5 ц сушёных трав? Ответ выразите в тоннах.
728. Найдите отношение:
а) 124 к 3;
б) 6 к 20;
в) 12,3 к 3;
г) 9,1 к 0,07;
д) 0,25 к 0,55;
е) \(8\frac{2}{13}\) к \(\frac{15}{13}\);
ж) \(6\frac{5}{6}\) к 8,2;
з) 1,35 к \(5\frac{5}{8}\).

1. Верные утверждения: а), б), в).

2. Найдем периметр квадрата: \(\frac{7}{16} \cdot 4 = \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}\) (м).
Ответ: \(1 \frac{3}{4}\) м.

3. Найдем площадь прямоугольника: \(\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{10} = 0,3\) (м\(^2\)) = 30 дм\(^2\).
Ответ: а), б) и в).

4. 1) \(3 \cdot \frac{7}{15} = \frac{3 \cdot 7}{15} = \frac{7}{5} = 1 \frac{2}{5}\) – верно.
2) \(3 \cdot \frac{7}{15} = \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 15} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}\) – неверно.
3) \(\frac{7}{15} : 3 = \frac{7}{15} \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{45}\) – верно.
4) \(\frac{7}{15} : \frac{1}{3} = \frac{7}{15} \cdot 3 = \frac{21}{15} = \frac{7}{5}\) – верно.
5) \(3 : \frac{7}{15} = 3 \cdot \frac{15}{7} = \frac{45}{7}\) – неверно.
Ответ: 1), 3), 4).

5. а) \(3 \frac{4}{9}\) и \(\frac{9}{32}\):
\(3 \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{32} = \frac{31}{9} \cdot \frac{9}{32} = \frac{31}{32}\) – не взаимно обратные числа.
б) \(5 \frac{3}{7}\) и \(\frac{7}{38}\):
\(5 \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{38} = \frac{38}{7} \cdot \frac{7}{38} = 1\) – взаимно обратные числа.
в) 0,2 и 5:
\(0,2 \cdot 5 = 1\) – взаимно обратные числа.
г) \(1 \frac{2}{3}\) и \(\frac{3}{2}\):
\(1 \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2,5\) – не взаимно обратные числа.
д) \(\frac{1}{3}\) и 3:
\(\frac{1}{3} \cdot 3 = 1\) – взаимно обратные числа.
Ответ: б), в), д).

6. А. \( \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{9} = \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{15} \) – 2).
Б. \( \frac{2}{9} \cdot \frac{7}{9} = \frac{2}{9} \cdot \frac{9}{7} = \frac{2}{7} \) – 3).
В. \(\left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} = \frac{16}{100} = 0,16\) – 4).
Г. \(1 : \frac{5}{9} = 1 \cdot \frac{9}{5} = \frac{9}{5} = \frac{18}{10} = 1,8\) – 1).
Ответ: А – 2); Б – 3); В – 4); Г – 1).

7. \(3,5x = 1\)
\(x = 1 : 3,5\)
\(x = \frac{10}{35}\)
\(x = \frac{2}{7}\)
Ответ: \(x = \frac{2}{7}\).

8. Найдем расстояние, которое пройдет велосипедист:
\(2 \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 1 \frac{1}{5} = \frac{5}{2} \cdot 12 \cdot \frac{6}{5} = \frac{61}{2} = 30 \frac{1}{2} = 30,5\) (км).
Ответ: 30,5 км.

9. Найдем, сколько метров тесьмы было в мотке:
\(12 : \frac{3}{4} = 12 \cdot \frac{4}{3} = 4 \cdot 4 = 16\) (м).
Ответ: 16 м.

10. 1) Найдем массу сушеных трав в процентах:
\(100 — 75 = 25\%\).
2) Найдем, сколько сырья заготовили, если получено 7,5 ц = 0,75 т:
\(0,75 : 0,25 = \frac{75}{100} : \frac{25}{100} = \frac{75}{100} \cdot \frac{100}{25} = 3\) (т).
Ответ: 3 т.

1. а) При умножении дроби на натуральное число действительно нужно умножить только числитель дроби на это число, а знаменатель оставить без изменений. Это связано с тем, что дробь — это отношение числителя к знаменателю. Если умножить числитель, то увеличится количество частей, а знаменатель, который показывает на сколько частей делится целое, остается тем же. Например, если взять дробь \(\frac{3}{5}\) и умножить на 4, то получим \(\frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5}\). Таким образом, умножение на натуральное число увеличивает числитель, но не меняет размер частей, на которые делится целое.

б) При делении двух дробей для удобства операцию деления заменяют на умножение первой дроби (делимого) на обратную вторую дробь (делитель). Обратная дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель поменяны местами. Например, если делим \(\frac{3}{4}\) на \(\frac{2}{5}\), то умножаем \(\frac{3}{4}\) на обратную \(\frac{5}{2}\), получая \(\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8}\). Это правило упрощает вычисления и помогает избежать ошибок.

в) Произведение правильных дробей всегда является правильной дробью. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. При умножении числитель и знаменатель обеих дробей увеличиваются, но произведение числителей будет меньше произведения знаменателей, так как каждое из числителей меньше соответствующего знаменателя. Например, \(\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\), где \(3 < 10\), значит результат — правильная дробь.

2. Периметр квадрата равен сумме всех его сторон. Если сторона квадрата равна \(\frac{7}{16}\) м, то периметр — это \(4\) стороны, то есть \(4 \cdot \frac{7}{16}\). Выполним умножение: \(4 \cdot \frac{7}{16} = \frac{4 \cdot 7}{16} = \frac{28}{16}\). Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4: \(\frac{28}{16} = \frac{7}{4}\). Это неправильная дробь, которую можно записать как смешанное число: \(1 \frac{3}{4}\) м. Таким образом, периметр квадрата равен \(1 \frac{3}{4}\) метра.

3. Для вычисления площади прямоугольника нужно перемножить длину и ширину. Дана одна сторона \(\frac{2}{5}\) м, другая — \(\frac{3}{4}\) м. Перемножим: \(\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{6}{20}\). Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: \(\frac{6}{20} = \frac{3}{10}\). В десятичном виде это \(0,3\) м². Чтобы проверить варианты, переведём квадратные метры в квадратные дециметры: \(1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2\), значит \(0,3 \text{ м}^2 = 30 \text{ дм}^2\). Подходят варианты а) \(\frac{3}{10}\) м², б) 30 дм² и в) 0,3 м².

4. Рассмотрим каждое равенство:
1) \(3 \cdot \frac{7}{15} = \frac{3 \cdot 7}{15} = \frac{21}{15} = \frac{7}{5} = 1 \frac{2}{5}\). Это верно, так как умножение целого числа на дробь — это умножение числителя на число с сохранением знаменателя.
2) \(3 \cdot \frac{7}{15} = \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 15} = \frac{21}{45} \neq \frac{7}{15}\). Здесь ошибка в том, что умножение числителя и знаменателя на 3 неверно при умножении целого числа на дробь.
3) \(\frac{7}{15} : 3 = \frac{7}{15} \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{45}\). Деление на число — это умножение на его обратное, значит равенство верно.
4) \(3 : \frac{7}{15} = 3 \cdot \frac{15}{7} = \frac{45}{7}\). Деление на дробь — умножение на обратную, равенство верно.
5) \(3 : \frac{7}{15} = \frac{7}{45}\) — неверно, так как деление на дробь не равно простой дроби с числителем и знаменателем как здесь.

5. Пары взаимно обратных чисел — это такие числа, произведение которых равно 1.
а) \(3 \frac{4}{9} = \frac{31}{9}\), умножим на \(\frac{9}{32}\): \(\frac{31}{9} \cdot \frac{9}{32} = \frac{31}{32} \neq 1\), значит не обратные.
б) \(5 \frac{3}{7} = \frac{38}{7}\), умножим на \(\frac{7}{38}\): \(\frac{38}{7} \cdot \frac{7}{38} = 1\), значит это обратные числа.
в) \(0,2 = \frac{1}{5}\), умножим на 5: \(\frac{1}{5} \cdot 5 = 1\), значит обратные.
г) \(1 \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\), умножим на \(\frac{3}{2}\): \(\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \neq 1\), не обратные.
д) \(\frac{1}{3} \cdot 3 = 1\), значит обратные.

6. А. Выражение \( \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{9} \) — это произведение двух дробей. Чтобы перемножить дроби, нужно умножить числители и знаменатели отдельно: \( \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 9} = \frac{12}{45} \). Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: \( \frac{12 : 3}{45 : 3} = \frac{4}{15} \). Это соответствует значению 2).

Б. Выражение \( \frac{2}{9} \cdot \frac{7}{9} \) — тоже произведение дробей. Умножаем числители и знаменатели: \( \frac{2 \cdot 7}{9 \cdot 9} = \frac{14}{81} \). Но в вариантах ответа такого нет. Вероятно, здесь ошибка в распознавании, и правильное выражение — \( \frac{2}{9} : \frac{7}{9} \), то есть деление. Деление дробей — умножение на обратную: \( \frac{2}{9} \cdot \frac{9}{7} = \frac{18}{63} = \frac{2}{7} \) после сокращения. Значит, правильное значение — 3).

В. Выражение \( \left(\frac{2}{5}\right)^2 \) — возведение дроби в квадрат. Это значит умножить дробь на саму себя: \( \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25} \). В десятичном виде это \( \frac{4}{25} = \frac{16}{100} = 0,16 \). Значит, соответствует 4).

Г. Выражение \( 1 : \frac{5}{9} \) — деление числа 1 на дробь \( \frac{5}{9} \). Деление на дробь — это умножение на обратную дробь: \( 1 \cdot \frac{9}{5} = \frac{9}{5} \). Преобразуем в десятичное число: \( \frac{9}{5} = 1,8 \). Значит, соответствует 1).

Ответ: А – 2); Б – 3); В – 4); Г – 1).

7. Дано уравнение \( 3,5x = 1 \). Чтобы найти \( x \), нужно обе части уравнения разделить на 3,5: \( x = \frac{1}{3,5} \). Переведём десятичную дробь в обыкновенную: \( 3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2} \). Тогда \( x = \frac{1}{\frac{7}{2}} = \frac{2}{7} \). Таким образом, решение уравнения — \( x = \frac{2}{7} \).

8. Велосипедист едет со скоростью \( 12 \frac{1}{5} \) км/ч, что в неправильной дроби равно \( \frac{61}{5} \) км/ч. Время движения — \( 2 \frac{1}{2} \) часа, или \( \frac{5}{2} \) часов. Чтобы найти расстояние, нужно умножить скорость на время: \( \frac{61}{5} \cdot \frac{5}{2} \). Сократим 5 в числителе и знаменателе: \( \frac{61}{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{61}{2} \). Это \( 30 \frac{1}{2} \) км или 30,5 км. Ответ: 30,5 км.

9. Лена отрезала 12 м тесьмы, что составляет \( \frac{3}{4} \) длины всего мотка. Чтобы найти длину мотка, нужно разделить длину отрезанной тесьмы на долю: \( 12 : \frac{3}{4} = 12 \cdot \frac{4}{3} = \frac{48}{3} = 16 \) метров. Таким образом, длина всего мотка — 16 м.

10. При сушке теряется 75 % массы трав, значит остаётся 25 % от первоначального веса. Получено 7,5 центнеров сушёных трав, что в тоннах равно \( 7,5 \cdot 0,01 = 0,075 \) т. Чтобы найти массу сырья, нужно разделить массу сушёных трав на долю оставшейся массы: \( 0,075 : 0,25 = 0,3 \) т. Значит, сырья заготовлено 0,3 тонны.