ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Задания для самопроверки Параграф 2 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Задания для самопроверки

1. Укажите пары равных дробей.
А. \(\frac{18}{27}\)
Б. \(\frac{3}{5}\)
В. \(0{,}5\)
Г. \(\frac{3}{5}\)
1) \(\frac{1}{2}\) 2) \(\frac{2}{3}\) 3) \(0{,}6\) 4) \(\frac{15}{20}\)

2. Укажите, при каком значении \(x\) верно равенство \(\frac{15}{x} = \frac{3}{20}\).

3. Укажите дроби, которые можно привести к знаменателю 48.
а) \(\frac{3}{16}\);
б) \(\frac{2}{9}\);
в) \(\frac{5}{24}\);
г) \(\frac{3}{9}\).

4. Установите соответствие между равными числами.
А. \(\frac{1}{5}\)
Б. \(\frac{1}{2}\)
В. \(\frac{1}{8}\)
Г. \(\frac{1}{2}\)
1) \(0{,}25\) 2) \(0{,}5\) 3) \(0{,}125\) 4) \(0{,}4\)

5. Какие из дробей можно записать в виде десятичной дроби?
а) \(\frac{3}{4}\);
б) \(\frac{6}{5}\);
в) \(\frac{7}{20}\);
г) \(\frac{5}{14}\);
д) \(\frac{3}{15}\).

6. Укажите число, расположенное на числовом луче между числами 0,1 и 0,2.
а) \(\frac{3}{25}\);
б) \(\frac{2}{5}\);
в) \(\frac{3}{20}\);
г) \(\frac{1}{4}\).

7. Укажите числа, которые больше \(\frac{1}{3}\), но меньше \(\frac{1}{2}\).
а) \(\frac{4}{9}\);
б) \(\frac{6}{11}\);
в) \(\frac{8}{15}\);
г) \(\frac{3}{5}\);
д) \(3{,}5\).

8. Укажите наименьшее из чисел \(\frac{6}{5}\), \(\frac{1}{8} + \frac{12}{5}\).

9. Установите соответствие между числовым выражением и его значением.
А. \(\frac{3}{7} + \frac{2}{3}\)
Б. \(\frac{5}{6} — \frac{7}{12}\)
В. \(\frac{10}{12} — \frac{5}{12}\)
Г. \(\frac{7}{5} + \frac{1}{28}\)
1) \(\frac{1}{3}\) 2) \(\frac{3}{5}\) 3) \(\frac{3}{4}\) 4) \(\frac{9}{21}\)

10. Вычислите \(3 \frac{7}{12} + 13 \frac{5}{16} — 2 \frac{3}{8}\).

1.
А. \( \frac{18}{27} = \frac{2}{3} — 1 \)
Б. \( \frac{3}{4} = \frac{15}{20} — 4 \)
В. \( 0{,}5 = \frac{1}{2} — 2 \)
Г. \( \frac{3}{5} = 0{,}6 — 3 \)

2.
\( \frac{15}{x} = \frac{3}{20} \)
\( 3x = 15 \cdot 20 \)
\( 3x = 300 \)
\( x = 100 \)

Ответ: \( x = 100 \).

3.
а) \( \frac{3}{16} = \frac{9}{48} \)
б) \( \frac{2}{9} \) нельзя привести к знаменателю 48
в) \( \frac{5}{24} = \frac{10}{48} \)
г) \( \frac{3}{9} \) нельзя привести к знаменателю 48

4.
А. \( \frac{1}{8} = \frac{125}{1000} = 0{,}125 \)
Б. \( \frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0{,}25 \)
В. \( \frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0{,}4 \)
Г. \( \frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5 \)

5.
а) \( \frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0{,}75 \)
б) \( \frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0{,}35 \)
в) \( \frac{5}{14} \) нельзя записать в виде десятичной дроби
г) \( \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0{,}2 \)

6.
\( 0{,}1 < x < 0{,}2 \) а) \( \frac{2}{25} = \frac{8}{100} = 0{,}08 \) — не подходит б) \( \frac{2}{5} = 0{,}4 \) — не подходит в) \( \frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 0{,}15 \) — подходит г) \( \frac{1}{4} = 0{,}25 \) — не подходит Ответ: \( \frac{3}{20} \). 7. \( \frac{1}{3} = \frac{30}{90} < x < \frac{1}{2} = \frac{45}{90} \) а) \( \frac{4}{9} = \frac{40}{90} \) — подходит б) \( \frac{7}{15} = \frac{42}{90} \) — подходит в) \( \frac{8}{15} = \frac{48}{90} \) — не подходит г) \( \frac{2}{9} = \frac{20}{90} \) — не подходит Ответ: \( \frac{4}{9} \) и \( \frac{7}{15} \). 8. \( \frac{5}{6} = \frac{20}{24} \), \( \frac{3}{8} = \frac{9}{24} \), \( \frac{5}{12} = \frac{10}{24} \), \( \frac{3}{4} = \frac{18}{24} \) Наименьшее из чисел \( \frac{3}{8} \). 9. А. \( \frac{2}{3} + \frac{2}{7} = \frac{14}{21} + \frac{6}{21} = \frac{20}{21} \) — 4 Б. \( \frac{5}{10} - \frac{7}{15} = \frac{15}{30} - \frac{14}{30} = \frac{1}{30} \) — 3 В. \( \frac{9}{10} - \frac{1}{12} = \frac{54}{60} - \frac{5}{60} = \frac{49}{60} \neq \frac{2}{3} \) — скорее всего ошибка Г. \( \frac{5}{28} + \frac{1}{28} = \frac{20}{28} + \frac{1}{28} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4} \) — 1 10. \( 3 \frac{7}{12} + 1 \frac{5}{6} - 2 \frac{2}{3} = 3 \frac{7}{12} + 1 \frac{10}{12} - 2 \frac{8}{12} = 4 \frac{17}{12} - 2 \frac{8}{12} = 2 \frac{9}{12} = 2 \frac{3}{4} \)

1. а) Делимость числа \(a\) на число \(b\) по определению означает, что существует целое число \(q\), при котором выполняется равенство \(a = b \cdot q\). В случае \(b = 1\) всегда найдётся такое \(q\), равное самому числу \(a\), поскольку умножение на 1 не изменяет значение. Для числа \(48\) это выражается формулой \(48 = 1 \cdot 48\). Деление \(48 \div 1\) даёт результат \(48\), который является целым числом, следовательно, число \(1\) является делителем числа \(48\).

б) Рассмотрим делимость числа \(48\) на \(18\). Для этого необходимо найти целое \(q\), удовлетворяющее равенству \(48 = 18 \cdot q\). При делении \(48 \div 18\) получаем дробь \(\frac{48}{18} = \frac{8}{3}\), которая не является целым числом. Отсюда следует, что целого множителя \(q\) не существует, и число \(48\) не делится на \(18\).

в) Проверим делимость числа \(48\) на \(8\). Деление \(48 \div 8\) даёт результат \(6\), который является целым числом. Таким образом, существует целое \(q = 6\), при котором \(48 = 8 \cdot 6\). Значит, \(8\) является делителем числа \(48\).

г) Аналогично, при делении \(48 \div 16\) получаем \(3\), что является целым числом. Следовательно, \(48 = 16 \cdot 3\), и число \(48\) делится на \(16\).

д) Для делимости числа \(48\) на \(14\) нужно, чтобы \(48 = 14 \cdot q\) при некотором целочисленном \(q\). Деление \(48 \div 14\) равно \(\frac{48}{14} = \frac{24}{7}\), что не является целым числом. Значит, делителя \(q\) не существует, и число \(48\) не делится на \(14\).

Ответ: а); в); г).

2. а) Число \(n\) кратно числу \(27\), если существует целое \(m\), при котором \(n = 27 \cdot m\). Для \(n = 1\) равенство \(1 = 27 \cdot m\) не имеет целого решения, так как \(\frac{1}{27}\) не целое. Следовательно, \(1\) не кратно \(27\).

б) Аналогично, для \(n = 9\) равенство \(9 = 27 \cdot m\) не имеет целочисленного решения, так как \(\frac{9}{27} = \frac{1}{3}\) — нецелое число. Значит, \(9\) не кратно \(27\).

в) Для \(n = 27\) берём \(m = 1\), тогда \(27 = 27 \cdot 1\), условие кратности выполняется.

г) Для \(n = 54\) выбираем \(m = 2\), тогда \(54 = 27 \cdot 2\), условие кратности выполнено.

д) Для \(n = 81\) берём \(m = 3\), получаем \(81 = 27 \cdot 3\), что также соответствует кратности.

Ответ: в); г); д).

3. а) Рассмотрим утверждение, что число \(1\) кратно числу \(a\). Это означает, что существует целое \(k\), при котором \(1 = a \cdot k\). При \(a \ge 2\) целого \(k\), удовлетворяющего этому равенству, не существует, так как \(1\) меньше любого числа \(a \ge 2\). Следовательно, в общем случае \(1\) не кратно \(a\), за исключением случая \(a = 1\).

б) Утверждение, что число \(a\) кратно самому себе, верно, так как для любого числа \(a\) существует целое \(k = 1\), при котором \(a = a \cdot 1\).

в) Для числа \(a + 1\) кратность \(a\) означала бы, что \(a + 1 = a \cdot k\) для целого \(k\). Переносим \(a\): \(1 = a \cdot (k — 1)\). При целых \(k\) это возможно только если \(a = 1\). В общем случае, когда \(a \ne 1\), кратность не выполняется.

г) Для числа \(2a\) кратность \(a\) выполняется, так как \(2a = a \cdot 2\), где \(2\) — целое число.

д) Для \(2a — 1\) кратность \(a\) означала бы \(2a — 1 = a \cdot k\). Переносим \(a\): \(-1 = a \cdot (k — 2)\). Для натурального \(a\) нет целого \(k\), удовлетворяющего этому равенству, значит \(2a — 1\) не кратно \(a\).

Ответ: б); г).

4. а) Сложение чисел \(38955\) и \(107567\) даёт \(146522\). Последняя цифра \(2\) — чётная, значит число делится на \(2\). Проверка: \(146522 \div 2 = 73261\) — целое число.

б) Разность \(967245 — 39968 = 927277\). Последняя цифра \(7\) — нечётная, значит число не делится на \(2\).

в) Сумма \(54396 + 79277 = 133673\). Последняя цифра \(3\) — нечётная, число не делится на \(2\).

г) Разность \(45246 — 27978 = 17268\). Последняя цифра \(8\) — чётная, число делится на \(2\). Проверка: \(17268 \div 2 = 8634\) — целое число.

Ответ: а); г).

5. а) Утверждение, что число делится на \(6\), если оно делится на \(2\), неверно. Делимость на \(6\) требует одновременного деления на \(2\) и на \(3\). Например, число \(14\) делится на \(2\), но не делится на \(3\), следовательно, не делится на \(6\).

б) Утверждение, что число делится на \(6\), если оно делится на \(2\) и на \(3\), верно. Если \(n = 2 \cdot p\) и \(n = 3 \cdot q\) при целых \(p\) и \(q\), то число \(n\) делится на \(6\), так как \(6 = 2 \cdot 3\).

в) Число, оканчивающееся на \(0\), делится на \(10\), поскольку \(10 = 2 \cdot 5\), а последняя цифра \(0\) гарантирует наличие множителей \(2\) и \(5\).

г) Число, оканчивающееся на \(5\), делится на \(5\), но не обязательно на \(2\), поэтому не обязательно делится на \(10\).

Ответ: б); в).

6. Рассмотрим двойное неравенство \(348 < x < 359\) и условие, что \(x\) делится на \(5\). В десятичной системе делимость на \(5\) означает, что последняя цифра числа равна \(0\) или \(5\). Среди целых чисел от \(349\) до \(358\) такими являются только \(350\) и \(355\). Проверка: \(350 \div 5 = 70\) — целое число; \(355 \div 5 = 71\) — целое число. Другие числа в интервале имеют последние цифры \(1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\), поэтому не делятся на \(5\). Ответ: 350 и 355. 7. Разложение чисел на простые множители: - \(60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\), - \(126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7\), - \(84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7\), - \(90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\). Сопоставление с вариантами: - \(60\) соответствует варианту с номером 4 (так как содержит два двойки, тройку и пятёрку), - \(126\) соответствует варианту 2 (содержит двойку, две тройки и семёрку), - \(84\) соответствует варианту 3 (две двойки, тройка и семёрка), - \(90\) соответствует варианту 1 (двойка, две тройки и пятёрка). Ответ: А – 4); Б – 2); В – 3); Г – 1). 8. Найдём \(\mathrm{НОД}(175; 225)\). Разложим числа на простые множители: \(175 = 5^{2} \cdot 7\), \(225 = 3^{2} \cdot 5^{2}\). Общие простые множители — \(5^{2}\), так как \(7\) и \(3\) не совпадают. Следовательно, \(\mathrm{НОД}(175; 225) = 5^{2} = 25\). Пошаговое деление:

Ответ: 25.

9. Для вычисления наименьшего общего кратного \(\mathrm{НОК}(16; 18)\) разложим числа на простые множители:

\(16 = 2^{4}\),

\(18 = 2^{1} \cdot 3^{2}\).

Берём максимальные степени простых множителей:

для \(2\) — \(2^{4}\),

для \(3\) — \(3^{2}\).

Тогда

\(\mathrm{НОК}(16; 18) = 2^{4} \cdot 3^{2} = 16 \cdot 9 = 144\).

Проверка:

\(144 \div 16 = 9\) — целое число,

\(144 \div 18 = 8\) — целое число.

Ответ: 144.

10. Критерий делимости на \(9\) гласит, что число делится на \(9\) тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна \(9\). Рассмотрим число \(554231\).

Сумма цифр: \(5 + 5 + 4 + 2 + 3 + 1 = 20\).

Число \(20\) не кратно \(9\), следовательно, \(554231\) не делится на \(9\).

Чтобы получить число, делящееся на \(9\), нужно удалить одну цифру так, чтобы сумма оставшихся цифр стала кратна \(9\). Ближайшее кратное \(9\) к \(20\) снизу — \(18\), значит, нужно уменьшить сумму на \(2\).

Из цифр числа единственная цифра, которую можно удалить, чтобы уменьшить сумму на \(2\), — цифра \(2\).

После удаления получается число \(55431\), сумма цифр которого равна \(5 + 5 + 4 + 3 + 1 = 18\).

Поскольку \(18 \div 9 = 2\) — целое число, число \(55431\) делится на \(9\).

Ответ: 55431.