ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Задания для самопроверки Параграф 1 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

1. Укажите числа, которые являются делителями числа 48.
a) 1; б) 18; в) 8; г) 16; д) 14.

2. Укажите числа, которые являются кратными числа 27.
a) 1; б) 9; в) 27; г) 54; д) 81.

3. Укажите числа, кратные числу \(a\).
a) 1; б) \(a\); в) \(a + 1\); г) \(2a\); д) \(2a — 1\).

4. Не выполняя вычислений, установите, значения каких выражений делятся на 2.
a) 38,955 + 107,567; б) 54,396 + 9277; в) 967,245 — 39,968; г) 45,246 — 27,978.

5. Выберите верные утверждения:
а) Если число делится на 2 или на 3, то оно делится на 6.
б) Если число делится на 5, но не делится на 2, то оно не делится на 10.
в) Если чётное число делится на 3, то оно делится на 6.
г) Если число делится на 5, то оно делится на 10.

6. Запишите числа, кратные 5, которые удовлетворяют неравенству \(348 < x < 359\)?

7. Поставьте в соответствие числу его разложение на простые множители.
A. 60
Б. 126
В. 84
Г. 90
1) \(2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\)
2) \(2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7\)
3) \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7\)
4) \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\)

8. Найдите наибольший общий делитель для чисел 175 и 225.

9. Найдите наименьшее общее кратное чисел 16 и 18.

10. Из числа 554,231 удалите одну цифру так, чтобы оставшееся число было кратно 9.

№ 1.
а) 1 делит 48, так как \(48 \div 1 = 48\).
б) 18 не делит 48, так как \(48 \div 18\) не целое.
в) 8 делит 48, так как \(48 \div 8 = 6\).
г) 16 делит 48, так как \(48 \div 16 = 3\).
д) 14 не делит 48, так как \(48 \div 14\) не целое.
Ответ: а); в); г).

№ 2.
а) 1 не кратно 27, так как \(1 \neq 27k\).
б) 9 не кратно 27, так как \(9 \neq 27k\).
в) 27 кратно 27, так как \(27 = 27 \times 1\).
г) 54 кратно 27, так как \(54 = 27 \times 2\).
д) 81 кратно 27, так как \(81 = 27 \times 3\).
Ответ: в); г); д).

№ 3.
а) 1 не кратно \(a\), так как \(1 \neq a k\).
б) \(a\) кратно \(a\), так как \(a = a \times 1\).
в) \(a + 1\) не кратно \(a\), так как \(a + 1 \neq a k\).
г) \(2a\) кратно \(a\), так как \(2a = a \times 2\).
д) \(2a — 1\) не кратно \(a\), так как \(2a — 1 \neq a k\).
Ответ: б); г).

№ 4.
а) \(38955 + 107567 = 146522\) — четное, делится на 2.
б) \(967245 — 39968 = 927277\) — нечетное, не делится на 2.
в) \(54396 + 79277 = 133673\) — нечетное, не делится на 2.
г) \(45246 — 27978 = 17268\) — четное, делится на 2.
Ответ: а); г).

№ 5.
а) неверно, число делится на 6, если делится на 2 и на 3.
б) верно.
в) верно.
г) неверно, числа, делящиеся на 5, оканчиваются на 0 или 5, а на 10 — только на 0.
Ответ: б); в).

№ 6.
\(348 < x < 359\), \(x\) делится на 5. Числа: 350, 355. Ответ: 350 и 355. № 7. А. \(60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 - 4\). Б. \(126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 - 2\). В. \(84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 - 3\). Г. \(90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 - 1\). Ответ: А – 4); Б – 2); В – 3); Г – 1). № 8. Найдем НОД(175; 225):

Общие простые множители: 5 и 5, значит \(\mathrm{НОД}(175; 225) = 5 \cdot 5 = 25\).
Ответ: 25.

№ 9.
Разложим на простые множители:
\(16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\),
\(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\).
Наименьшее общее кратное:
\(\mathrm{НОК}(16; 18) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 16 \cdot 9 = 144\).
Ответ: 144.

№ 10.
Число делится на 9, если сумма его цифр кратна 9.
\(554231: 5 + 5 + 4 + 2 + 3 + 1 = 20\).
Убираем цифру 2, сумма \(5 + 5 + 4 + 3 + 1 = 18\), кратна 9.
Число 55431 делится на 9.
Ответ: 55431.

№ 1.
а) Проверяем делимость по определению: число \(b\) делит число \(a\), если существует целое \(q\) такое, что \(a = b \cdot q\). Для \(b = 1\) всегда существует целое \(q = a\), следовательно \(48 = 1 \cdot 48\), а значит \(1\) является делителем числа \(48\). Формально: \(48 \div 1 = 48\) и результат целый, поэтому делимость выполнена.
б) Для \(b = 18\) требуется целое \(q\) из равенства \(48 = 18 \cdot q\). Проверка деления показывает \(48 \div 18 = \frac{48}{18} = \frac{8}{3}\), что не является целым числом, следовательно целого \(q\) не существует и делимость не выполнена.
в) Для \(b = 8\) вычисляем \(48 \div 8 = 6\), получаем целое число, что означает существование целого множителя \(q = 6\) и равенство \(48 = 8 \cdot 6\); значит \(8\) является делителем \(48\).
г) Аналогично, \(48 \div 16 = 3\) даёт целое \(q = 3\), следовательно \(48 = 16 \cdot 3\) и делимость выполнена.
д) Для \(b = 14\) имеем \(48 \div 14 = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}\), что не целое, целого множителя нет, делимости нет.
Ответ: а); в); г).

№ 2.
а) Кратность определяется существованием целого \(m\) такого, что \(n = 27 \cdot m\). Для \(n = 1\) равенство \(1 = 27 \cdot m\) невозможно при целых \(m\), следовательно \(1\) не кратно \(27\).
б) Для \(n = 9\) равенство \(9 = 27 \cdot m\) также невозможно при целых \(m\), так как \(\frac{9}{27} = \frac{1}{3}\) не целое; значит \(9\) не кратно \(27\).
в) Для \(n = 27\) берём \(m = 1\): \(27 = 27 \cdot 1\), условие кратности выполняется.
г) Для \(n = 54\) берём \(m = 2\): \(54 = 27 \cdot 2\), кратность выполняется.
д) Для \(n = 81\) берём \(m = 3\): \(81 = 27 \cdot 3\), кратность выполняется.
Ответ: в); г); д).

№ 3.
а) Проверяем кратность числа \(1\) числу \(a\): нужно \(1 = a \cdot k\) при целом \(k\). Для натурального \(a \ge 2\) такое \(k\) отсутствует, а при \(a = 1\) условие истинно, но в общем случае в задаче подразумевается произвольное \(a\), поэтому утверждение «\(1\) кратно \(a\)» неверно: \(1 \neq a k\) при \(a \ne 1\).
б) Число \(a\) всегда кратно самому себе, так как существует целое множитель \(1\): \(a = a \cdot 1\).
в) Для \(a + 1\) кратность \(a\) означала бы \(a + 1 = a \cdot k\) при целом \(k\). Переносим \(a\): \(1 = a \cdot (k — 1)\). При целых \(k\) это возможно только при \(a = 1\), то есть в общем случае неверно; поэтому \(a + 1\) не кратно \(a\).
г) Для \(2a\) берём целый множитель \(2\): \(2a = a \cdot 2\), кратность выполняется всегда при любом целочисленном \(a\).
д) Для \(2a — 1\) кратность означала бы \(2a — 1 = a \cdot k\). Переносим \(a\): \(-1 = a \cdot (k — 2)\). Для натурального \(a\) целого решения нет, следовательно \(2a — 1\) не кратно \(a\).
Ответ: б); г).

№ 4.
а) Сумма \(38955 + 107567\) вычисляется столбиком или поразрядно: \(38955 + 107567 = 146522\). Последняя цифра \(2\) чётная, значит число чётное и делится на \(2\). Формально, \(146522 \div 2 = 73261\) целое.
б) Разность \(967245 — 39968 = 927277\). Последняя цифра \(7\) нечётная, поэтому число не делится на \(2\); при делении \(927277 \div 2\) получаем нецелое \(\frac{927277}{2}\).
в) Сумма \(54396 + 79277 = 133673\). Последняя цифра \(3\) нечётная, следовательно число не делится на \(2\).
г) Разность \(45246 — 27978 = 17268\). Последняя цифра \(8\) чётная, значит число делится на \(2\); проверка: \(17268 \div 2 = 8634\) целое.
Ответ: а); г).

№ 5.
а) Утверждение «число делится на 6, если оно делится на 2» неверно, так как для делимости на \(6\) требуется одновременная делимость на \(2\) и на \(3\). Например, \(12\) делится на \(6\) и удовлетворяет обоим условиям: \(12 \div 2 = 6\), \(12 \div 3 = 4\). Число, делящееся только на \(2\), например \(14\) (\(14 \div 2 = 7\)), не делится на \(3\), следовательно не делится на \(6\).
б) Утверждение «делится на 6, если делится на 2 и на 3» верно по критерию делимости: если существует целое \(p\) такое, что \(n = 2 \cdot p\) и одновременно существует целое \(q\) такое, что \(n = 3 \cdot q\), то \(n\) делится на \(6\) благодаря наибольшему общему делителю \(2\) и \(3\), равному \(1\), то есть \(n\) кратно \(2 \cdot 3 = 6\).
в) Утверждение «число, оканчивающееся на 0, делится на 10» верно, так как \(10 = 2 \cdot 5\) и последняя цифра \(0\) гарантирует множители \(2\) и \(5\) в десятичной записи: \(n = 10 \cdot r\) для некоторого целого \(r\).
г) Утверждение «оканчивающееся на 5 делится на 10» неверно: числа, оканчивающиеся на \(5\), делятся на \(5\) (\(n = 5 \cdot r\)), но не обязательно на \(2\); для делимости на \(10\) нужна последняя цифра \(0\).
Ответ: б); в).

№ 6.
Дано двойное неравенство \(348 < x < 359\) и требование делимости \(x\) на \(5\). В десятичной системе число делится на \(5\) тогда и только тогда, когда его последняя цифра равна \(0\) или \(5\). Среди целых чисел в интервале от \(349\) до \(358\) включительно таким условиям удовлетворяют только \(350\) и \(355\).
Проверим явно: \(350 \div 5 = 70\) целое, \(355 \div 5 = 71\) целое. Все остальные числа имеют последнюю цифру из множества \(\{1,2,3,4,6,7,8,9\}\) и не делятся на \(5\).
Итак, множество решений \(\{350, 355\}\).
Ответ: 350 и 355.

№ 7.
Задача на сопоставление факторизаций с утверждениями. Рассмотрим каждое число в разложении на простые множители. \(60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\): из набора множителей видно соответствие варианту, где указано «\(- 4\)», то есть номер \(4\). \(126 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7\): набор совпадает с вариантом под номером \(2\). \(84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7\): это соответствует варианту под номером \(3\). \(90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\): этому набору соответствует номер \(1\).
Каждый выбор обоснован уникальностью набора простых множителей: равные мультисеты простых дают одни и те же числа, а различие хотя бы в одном множителе ведёт к разным значениям.
Ответ: А – 4); Б – 2); В – 3); Г – 1).

№ 8.
Найдем \(\mathrm{НОД}(175; 225)\) через общие простые множители. Разложим: \(175 = 5 \cdot 5 \cdot 7\) и \(225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5\). Общие множители по наименьшей степени для каждого простого: для \(5\) общая степень равна \(2\) (в обоих числах есть по два множителя \(5\)), для \(3\) общая степень \(0\) (в \(175\) нет множителей \(3\)), для \(7\) общая степень \(0\) (в \(225\) нет множителей \(7\)). Следовательно \(\mathrm{НОД}(175; 225) = 5^{2} = 25\).
Метод деления на общие простые даёт ту же величину: последовательное деление обеих чисел на \(5\), затем снова на \(5\), после чего дальнейшее общее деление невозможно, остаются \(7\) и \(9\), которые не имеют общих простых множителей, итог \(5 \cdot 5 = 25\).
Визуализируем шаги деления:

Ответ: 25.

№ 9.
Наименьшее общее кратное вычисляется через максимальные степени простых множителей, присутствующих в разложениях. Разлагаем: \(16 = 2^{4}\), \(18 = 2^{1} \cdot 3^{2}\). Для простого \(2\) берём максимальную степень \(2^{4}\), для простого \(3\) берём максимальную степень \(3^{2}\). Тогда \(\mathrm{НОК}(16; 18) = 2^{4} \cdot 3^{2} = 16 \cdot 9 = 144\).
Проверка кратности: \(144 \div 16 = 9\) целое и \(144 \div 18 = 8\) целое, значит \(144\) кратно обоим числам; любое меньшее число не будет кратно хотя бы одному из них, поскольку уменьшение потребовало бы понизить степень хотя бы одного простого, нарушив кратность.
Итоговое значение подтверждает как метод по простым степеням, так и прямая проверка делением.
Ответ: 144.

№ 10.
Критерий делимости на \(9\) гласит: число делится на \(9\) тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна \(9\). Рассмотрим число \(554231\). Сумма цифр равна \(5 + 5 + 4 + 2 + 3 + 1 = 20\). Поскольку \(20\) не кратно \(9\), исходное число не делится на \(9\).
Ищем, какую одну цифру следует удалить, чтобы сумма оставшихся стала кратна \(9\). Целевая сумма должна быть одной из \(9, 18, 27\) и т. д. Ближайшая к \(20\) кратность \(9\) снизу — \(18\), значит нужно уменьшить сумму на \(2\). Из цифр числа \(554231\) единственный способ уменьшить сумму ровно на \(2\) — удалить цифру \(2\). После удаления получаем число \(55431\) с суммой \(5 + 5 + 4 + 3 + 1 = 18\).
Так как \(18 \div 9 = 2\) целое, число \(55431\) делится на \(9\). Это полностью согласуется с правилом: преобразование сохранило остальные цифры и изменило только сумму на требуемую величину.
Ответ: 55431.