ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 97 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

С помощью таблицы простых чисел, помещённой на форзаце учебника, определите, какие из чисел 101, 121, 253, 409, 561, 563, 863, 997 являются простыми, а какие составными.

Простые числа имеют ровно два делителя: 1 и само число. Для проверки простоты числа проверяем делимость на все простые числа, не превышающие \( \sqrt{n} \).

Число 101: \( \sqrt{101} \approx 10 \). Проверяем делимость на 2, 3, 5, 7 — делителей нет, значит 101 простое.

Число 409: \( \sqrt{409} \approx 20 \). Делится ли на простые числа до 20? Нет — 409 простое.

Число 563: \( \sqrt{563} \approx 24 \). Делителей нет — 563 простое.

Число 863: \( \sqrt{863} \approx 29 \). Делителей нет — 863 простое.

Число 997: \( \sqrt{997} \approx 32 \). Делителей нет — 997 простое.

Составные числа имеют более двух делителей.

Число 121: \( 121 = 11^2 \), делится на 11 — составное.

Число 253: \( 253 = 11 \times 23 \), делится на 11 — составное.

Число 561: \( 561 = 3 \times 11 \times 17 \), делится на 3, 11, 17 — составное.

Простые числа — это такие числа, которые имеют ровно два делителя: 1 и само это число. Чтобы убедиться, что число простое, нужно проверить, делится ли оно на какие-либо числа, кроме 1 и самого себя. Для этого достаточно проверить делимость на все простые числа, не превышающие квадратный корень из данного числа, так как если число делится на какое-то число больше квадратного корня, то пара делителей уже была обнаружена с меньшим числом. Например, для числа 101 вычисляем \(\sqrt{101} \approx 10\). Проверяем делимость на простые числа до 10: 2, 3, 5, 7. Число 101 не делится на 2 (число нечетное), не делится на 3 (сумма цифр 1+0+1=2, не кратна 3), не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5), не делится на 7 (101/7 ≈ 14,43 — не целое). Значит, 101 — простое число. Аналогично проверяем 409, 563, 863 и 997, вычисляя их квадратные корни и проверяя делимость на все простые числа, не превышающие эти корни. Ни одно из них не делится на такие числа, значит, все они простые.

Составные числа, наоборот, имеют более двух делителей. Это означает, что они делятся как минимум на одно число, отличное от 1 и самого себя. Рассмотрим число 121. Его квадратный корень \(\sqrt{121} = 11\). Проверяем делимость: \(121 = 11 \times 11\), значит, у числа есть делитель 11, кроме 1 и 121, следовательно, оно составное. Следующее число 253. Проверяем делимость на простые числа до \(\sqrt{253} \approx 15,9\): 2, 3, 5, 7, 11, 13. Число 253 делится на 11, так как \(253 \div 11 = 23\) — целое число, значит, 253 составное. Для числа 561 \(\sqrt{561} \approx 23,7\). Проверяем делимость на простые числа до 23: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Число 561 делится на 3, так как сумма цифр 5+6+1=12, а 12 делится на 3. Также \(561 = 3 \times 11 \times 17\), что подтверждает его составность.

Таким образом, для определения простоты или составности числа важно проверить его делимость на простые числа, не превышающие квадратный корень из него. Если делителей, кроме 1 и самого числа, нет, число простое. Если есть хотя бы один дополнительный делитель, число составное. В нашем случае числа 101, 409, 563, 863 и 997 прошли эту проверку и признаны простыми, а числа 121, 253 и 561 имеют дополнительные делители и являются составными. Это классический метод проверки простоты, который широко используется в теории чисел и имеет фундаментальное значение для криптографии и других областей математики.