ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 852 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

а) \(\frac{10^{\frac{10}{11}} : 12}{2^{\frac{21}{22}}} \cdot 6^{\frac{1}{2}}\);

б) \(\frac{8 : 2^{\frac{2}{5}}}{5^{\frac{1}{4}} : 7} : \frac{2^{\frac{1}{7}} : \frac{5}{7}}{4 : \frac{8}{9}}\).

a) \( \frac{10 \frac{10}{11} : 12}{2 \frac{21}{22}} \cdot 6 \frac{1}{2} = \frac{\frac{120}{11} \cdot \frac{1}{12}}{\frac{65}{22}} \cdot \frac{13}{2} = \frac{\frac{10}{11}}{\frac{65}{22}} \cdot \frac{13}{2} = \frac{10}{11} \cdot \frac{22}{65} \cdot \frac{13}{2} = \)\( = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{13} \cdot \frac{13}{2} = 2. \)

б) \( \frac{8 : 2 \frac{2}{5}}{5 \frac{4}{9}} : \frac{2 \frac{1}{7} : \frac{5}{7}}{4 : \frac{8}{9}} = \frac{8 : \frac{12}{5}}{\frac{21}{4}} : \frac{\frac{15}{7} \cdot \frac{7}{5}}{4 \cdot \frac{9}{8}} = \frac{8 \cdot \frac{5}{12}}{\frac{21}{4}} : \frac{21 \cdot \frac{1}{7}}{\frac{9}{2}} = \)
\( = \frac{\frac{10}{3}}{\frac{3}{4}} : \frac{2}{9} = \frac{10}{3} : \frac{2}{3} = \frac{10}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{10}{3} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{1} = \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3}. \)

а) В выражении сначала необходимо перевести все смешанные числа в неправильные дроби для удобства вычислений. Так, \(10 \frac{10}{11}\) преобразуем в \(\frac{120}{11}\), так как \(10 \cdot 11 + 10 = 120\), знаменатель остаётся 11. Аналогично, \(2 \frac{21}{22}\) превращается в \(\frac{65}{22}\) (потому что \(2 \cdot 22 + 21 = 65\)), а \(6 \frac{1}{2}\) — в \(\frac{13}{2}\) (так как \(6 \cdot 2 + 1 = 13\)). После этого исходное выражение принимает вид \(\frac{\frac{120}{11} : 12}{\frac{65}{22}} \cdot \frac{13}{2}\).

Далее производится деление на число 12, которое удобно заменить умножением на его обратную дробь \(\frac{1}{12}\). Таким образом, числитель дроби становится \(\frac{120}{11} \cdot \frac{1}{12}\). Теперь выражение выглядит так: \(\frac{\frac{120}{11} \cdot \frac{1}{12}}{\frac{65}{22}} \cdot \frac{13}{2}\). Считаем числитель: \(\frac{120}{11} \cdot \frac{1}{12} = \frac{10}{11}\), поскольку 120 и 12 сокращаются на 12. Теперь деление дроби \(\frac{10}{11}\) на \(\frac{65}{22}\) заменяем умножением на обратную дробь \(\frac{22}{65}\), что даёт \(\frac{10}{11} \cdot \frac{22}{65}\).

После этого умножаем полученное выражение на \(\frac{13}{2}\), итоговый вид выражения: \(\frac{10}{11} \cdot \frac{22}{65} \cdot \frac{13}{2}\). При сокращении общих множителей числитель и знаменатель упрощаются: 10 и 65 сокращаются на 5, 22 и 11 сокращаются на 11, 13 и 13 сокращаются взаимно. В итоге остаётся \(\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{13} \cdot \frac{13}{2}\), где 13 и 13 сокращаются, 2 и 2 сокращаются, что даёт окончательный результат \(2\).

б) В выражении сначала нужно перевести смешанные числа в неправильные дроби для удобства дальнейших операций. Так, \(2 \frac{2}{5} = \frac{12}{5}\), поскольку \(2 \cdot 5 + 2 = 12\), \(5 \frac{4}{9} = \frac{49}{9}\) (так как \(5 \cdot 9 + 4 = 49\)), а \(2 \frac{1}{7} = \frac{15}{7}\) (потому что \(2 \cdot 7 + 1 = 15\)). После этого исходное выражение записывается в виде \(\frac{8 : \frac{12}{5}}{\frac{21}{4}} : \frac{\frac{15}{7} : \frac{5}{7}}{4 : \frac{8}{9}}\).

Заменяем деления умножениями на обратные дроби: \(8 : \frac{12}{5} = 8 \cdot \frac{5}{12}\), \(\frac{15}{7} : \frac{5}{7} = \frac{15}{7} \cdot \frac{7}{5}\), \(4 : \frac{8}{9} = 4 \cdot \frac{9}{8}\). Таким образом, выражение становится \(\frac{8 \cdot \frac{5}{12}}{\frac{21}{4}} : \frac{\frac{15}{7} \cdot \frac{7}{5}}{4 \cdot \frac{9}{8}}\).

Упрощаем числитель первой дроби: \(8 \cdot \frac{5}{12} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}\) после сокращения на 4. Числитель второй дроби: \(\frac{15}{7} \cdot \frac{7}{5} = 3\), знаменатель второй дроби: \(4 \cdot \frac{9}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}\). Теперь выражение сводится к \(\frac{\frac{10}{3}}{\frac{3}{4}} : \frac{2}{9}\).

Деление первой дроби на вторую заменяем умножением на обратную: \(\frac{10}{3} \cdot \frac{4}{3}\). Далее умножаем полученный результат на обратную дробь \(\frac{9}{2}\), что даёт \(\frac{10}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{2}\). После сокращения общих множителей и последовательных вычислений получаем \(\frac{20}{3}\), что в смешанном виде равно \(6 \frac{2}{3}\).