ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 788 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Определите, является ли прямо пропорциональной, обратно пропорциональной или не является пропорциональной зависимость между величинами:
а) путём, пройденным автомашиной с постоянной скоростью, и временем её движения;
б) стоимостью товара, купленного по одной цене, и его количеством;
в) площадью квадрата и длиной его стороны;
г) массой стального бруска и его объёмом;
д) числом рабочих, выполняющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу, и временем выполнения этой работы;
е) стоимостью товара и его количеством, купленным на определённую сумму денег;
ж) возрастом человека и размером его обуви;
з) объёмом куба и длиной его ребра;
и) периметром квадрата и длиной его стороны;
к) дробью и её знаменателем, если числитель не изменяется;
л) дробью и её числителем, если знаменатель не изменяется.

Прямо пропорциональные зависимости:

а) Путь \( S \) при постоянной скорости \( v \) и времени \( t \) связан формулой \( S = v \cdot t \), значит зависимость прямая пропорциональная.

б) Стоимость \( C \) товара при цене \( p \) и количестве \( n \) равна \( C = p \cdot n \), значит прямая пропорциональная зависимость.

г) Масса \( m \) стального бруска при плотности \( \rho \) и объёме \( V \) равна \( m = \rho \cdot V \), прямая пропорциональная зависимость.

и) Периметр квадрата \( P = 4a \), где \( a \) — длина стороны, прямая пропорциональная зависимость.

л) Дробь \( \frac{m}{n} \) при постоянном знаменателе \( n \) пропорциональна числителю \( m \), значит прямая пропорциональная зависимость.

Обратно пропорциональные зависимости:

д) Время \( t \) выполнения работы при числе рабочих \( N \) с одинаковой производительностью обратно пропорционально \( t \sim \frac{1}{N} \).

е) Количество товара \( n \), купленного на сумму \( S \) при цене \( p \), обратно пропорционально цене \( n = \frac{S}{p} \).

к) Дробь \( \frac{m}{n} \) при постоянном числителе \( m \) обратно пропорциональна знаменателю \( n \).

Не являются пропорциональной зависимостью:

в) Площадь квадрата \( S = a^2 \) зависит квадратично от длины стороны \( a \), не пропорциональна.

ж) Возраст человека и размер обуви не имеют прямой или обратной пропорциональной зависимости.

з) Объём куба \( V = a^3 \) зависит кубически от длины ребра \( a \), не пропорциональна.

Прямо пропорциональные зависимости:

а) Путь \( S \), пройденный автомобилем с постоянной скоростью \( v \), зависит от времени \( t \) движения по формуле \( S = v \cdot t \). Здесь скорость \( v \) — постоянная величина, значит путь изменяется прямо пропорционально времени. Если время увеличивается в два раза, то и путь увеличится в два раза, что является классической прямой пропорциональностью. Такая зависимость часто встречается в физике при равномерном движении.

б) Стоимость товара \( C \), купленного по одной цене \( p \), зависит от количества товара \( n \) по формуле \( C = p \cdot n \). Цена за единицу товара фиксирована, поэтому увеличение количества товара приводит к пропорциональному увеличению стоимости. Если количество удваивается, стоимость тоже удваивается. Это пример прямой пропорциональной зависимости, которая часто используется в экономике и торговле.

г) Масса стального бруска \( m \) связана с его объёмом \( V \) через плотность материала \( \rho \) формулой \( m = \rho \cdot V \). Плотность стали — постоянная величина, поэтому масса изменяется прямо пропорционально объёму. Если объём увеличится в три раза, масса тоже увеличится в три раза. Такая зависимость характерна для однородных материалов и широко применяется в инженерии и физике.

и) Периметр квадрата \( P \) равен сумме четырёх равных сторон, то есть \( P = 4a \), где \( a \) — длина стороны квадрата. Здесь периметр изменяется прямо пропорционально длине стороны. Увеличение длины стороны в два раза ведёт к увеличению периметра также в два раза. Это простая линейная зависимость, важная в геометрии.

л) Рассмотрим дробь \( \frac{m}{n} \), где знаменатель \( n \) остаётся постоянным, а числитель \( m \) меняется. В этом случае значение дроби изменяется прямо пропорционально числителю: если \( m \) увеличивается в два раза, то и дробь увеличивается в два раза. Такая зависимость часто используется при анализе дробных величин с фиксированным знаменателем.

Обратно пропорциональные зависимости:

д) Время \( t \), необходимое для выполнения работы, зависит от числа рабочих \( N \) с одинаковой производительностью. При увеличении числа рабочих время выполнения уменьшается, так как работа распределяется между ними. Эта зависимость выражается формулой \( t \sim \frac{1}{N} \), то есть время обратно пропорционально числу рабочих. Если рабочих в два раза больше, время выполнения работы будет в два раза меньше.

е) Количество товара \( n \), купленного на фиксированную сумму денег \( S \), при цене за единицу \( p \) выражается формулой \( n = \frac{S}{p} \). При увеличении цены товара количество, которое можно купить на ту же сумму, уменьшается. Таким образом, количество товара обратно пропорционально цене. Если цена удваивается, количество товара уменьшается в два раза.

к) Рассмотрим дробь \( \frac{m}{n} \), где числитель \( m \) не изменяется, а знаменатель \( n \) меняется. Значение дроби изменяется обратно пропорционально знаменателю: если знаменатель увеличивается, значение дроби уменьшается. Например, при удвоении знаменателя значение дроби уменьшается в два раза.

Не являются пропорциональной зависимостью:

в) Площадь квадрата \( S \) связана с длиной стороны \( a \) формулой \( S = a^2 \). Здесь площадь зависит от квадрата длины стороны, то есть изменение стороны приводит к изменению площади не пропорционально, а квадратично. Если длина стороны удваивается, площадь увеличивается в четыре раза. Это пример нелинейной зависимости.

ж) Возраст человека и размер его обуви не имеют строгой математической связи. Размер обуви зависит от физиологических особенностей, а возраст — от времени жизни, поэтому между ними нет прямой или обратной пропорциональной зависимости.

з) Объём куба \( V \) зависит от длины ребра \( a \) по формуле \( V = a^3 \). Это кубическая зависимость, при которой изменение длины ребра приводит к изменению объёма в степени три. Если длина ребра удваивается, объём увеличивается в восемь раз. Такая зависимость не является пропорциональной.