ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 74 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Подумайте, каким числом (чётным или нечётным) является:  

а) квадрат чётного числа;  

б) квадрат нечётного числа;  

в) куб чётного числа.

а) Квадрат четного числа будет четным числом; четное · четное = четное.

б) Квадрат нечетного числа будет нечетным числом; нечетное · нечетное = нечетное.

в) Куб четного числа будет четным числом; четное · четное · четное = четное · четное = четное.

а) Рассмотрим квадрат четного числа. Четное число — это любое число, которое делится на 2 без остатка. Обозначим четное число как \(2k\), где \(k\) — целое число. Тогда квадрат этого числа будет равен \((2k)^2 = 2k \cdot 2k = 4k^2\). Поскольку \(4k^2 = 2 \cdot (2k^2)\), это число делится на 2, а значит, оно четное. Таким образом, произведение двух четных чисел всегда четное, и квадрат четного числа обязательно будет четным.

б) Теперь рассмотрим квадрат нечетного числа. Нечетное число можно представить в виде \(2m + 1\), где \(m\) — целое число. Возьмём квадрат этого числа: \((2m + 1)^2 = (2m + 1)(2m + 1) = 4m^2 + 4m + 1 = 2(2m^2 + 2m) + 1\). В этом выражении \(2(2m^2 + 2m)\) — четное число, а прибавление 1 делает всё выражение нечетным. Следовательно, квадрат нечетного числа всегда нечетный, так как произведение двух нечетных чисел нечетно.

в) Рассмотрим куб четного числа. Пусть четное число — это \(2n\), где \(n\) — целое число. Куб этого числа равен \((2n)^3 = 2n \cdot 2n \cdot 2n = 8n^3\). Поскольку \(8n^3 = 2 \cdot (4n^3)\), куб четного числа также делится на 2 и, следовательно, является четным. Можно также записать так: \(2n \cdot 2n \cdot 2n = (2n \cdot 2n) \cdot 2n = \text{четное} \cdot 2n = \text{четное}\). Это подтверждает, что куб четного числа обязательно четен.