ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 721 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Найдите произведение дробей \( \frac{2}{3} \) и \( \frac{11}{7} \) и произведение дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение ещё на одном примере. Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).

Найдём произведение дробей:
\( \frac{2}{3} \cdot \frac{11}{7} = \frac{22}{21} = 1 \frac{1}{21} \).

Найдём произведение дробей, обратных данным:
\( \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{11} = \frac{21}{22} \).

Получили в ответах обратные друг другу дроби.

Проверим ещё:
\( \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{9} = \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{15} \).
\( \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{7} = \frac{5}{1} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{7} = 2 \frac{1}{7} \).

Докажем свойство:
\( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \),
\( \frac{b}{a} \cdot \frac{d}{c} = \frac{bd}{ac} \) — что и требовалось доказать.

Найдём произведение двух дробей \( \frac{2}{3} \) и \( \frac{11}{7} \). Для этого нужно перемножить числители между собой и знаменатели между собой. Получаем: \( \frac{2 \cdot 11}{3 \cdot 7} = \frac{22}{21} \). Дробь \( \frac{22}{21} \) неправильная, так как числитель больше знаменателя, её можно записать в виде смешанного числа: \( 1 \frac{1}{21} \). Это значит, что произведение двух дробей больше единицы, и мы получили точное значение их произведения.

Теперь рассмотрим произведение дробей, обратных к исходным. Обратная дробь к \( \frac{2}{3} \) — это \( \frac{3}{2} \), а к \( \frac{11}{7} \) — \( \frac{7}{11} \). Перемножим эти обратные дроби: \( \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{11} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 11} = \frac{21}{22} \). Обратите внимание, что произведение обратных дробей — это дробь, обратная произведению исходных дробей. В нашем случае произведение исходных дробей было \( \frac{22}{21} \), а произведение обратных — \( \frac{21}{22} \). Это подтверждает свойство обратных дробей.

Для дополнительной проверки рассмотрим ещё два примера. Перемножим дроби \( \frac{3}{5} \) и \( \frac{7}{9} \), но сделаем это через обратные дроби: \( \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{9} = \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{15} \). Аналогично, перемножим \( \frac{5}{3} \) и \( \frac{9}{7} \): \( \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{7} = \frac{5}{1} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{7} = 2 \frac{1}{7} \). Это показывает, что при умножении дробей нужно внимательно следить за сокращениями и преобразованиями, чтобы получить правильный результат.

Докажем общее свойство умножения дробей. Пусть есть дроби \( \frac{a}{b} \) и \( \frac{c}{d} \). Их произведение вычисляется как \( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \). Аналогично, произведение обратных дробей \( \frac{b}{a} \) и \( \frac{d}{c} \) равно \( \frac{b}{a} \cdot \frac{d}{c} = \frac{b \cdot d}{a \cdot c} \). Таким образом, произведение обратных дробей является обратной дробью к произведению исходных дробей, что и требовалось доказать.