ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 71 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Подумайте, как можно сформулировать признак делимости:  

а) на 6;  

б) на 15.

а) Числа, делящиеся на 6, делятся и на 2, и на 3, так как \(6 = 2 \times 3\).

б) Числа, делящиеся на 15, делятся и на 3, и на 5, так как \(15 = 3 \times 5\).

а) Если число делится на 6, это означает, что оно делится на произведение простых множителей 2 и 3, так как \(6 = 2 \times 3\). Для того чтобы число делилось на 6, оно должно одновременно делиться и на 2, и на 3. Делимость на 2 означает, что число чётное, то есть его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. Делимость на 3 проверяется суммой цифр числа: если сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3. Таким образом, чтобы число делилось на 6, оно должно удовлетворять обоим этим условиям одновременно.

Это можно записать так: если \(a\) — число, то \(a\) делится на 6 тогда и только тогда, когда \(a\) делится на 2 и \(a\) делится на 3. Формально это выражается через делимость: \(6 \mid a \iff (2 \mid a) \wedge (3 \mid a)\). Здесь символ \(\mid\) означает «делится на», а \(\wedge\) — логическое «и». Если число не делится хотя бы на один из этих делителей, оно не делится на 6.

б) Аналогично для числа 15, которое разлагается на простые множители как \(15 = 3 \times 5\). Число делится на 15, если оно одновременно делится на 3 и на 5. Делимость на 3, как уже сказано, проверяется по сумме цифр, а делимость на 5 — по последней цифре числа, которая должна быть либо 0, либо 5. Значит, чтобы число делилось на 15, оно должно удовлетворять обоим этим условиям одновременно. Формально: \(15 \mid a \iff (3 \mid a) \wedge (5 \mid a)\). Если хотя бы одно из условий не выполняется, число не делится на 15.