ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 709 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Вычислите:
а) \(\left(\frac{2}{3}:\frac{4}{9}\right)^2\);
б) \(\left(\frac{2}{3}\right)^2:\left(\frac{4}{9}\right)^2\);
в) \(\left(\frac{2}{7}\cdot\frac{5}{12}:\frac{5}{14}\right)^2\).

а) \(\left(\frac{2}{3} : \frac{4}{9}\right)^2 = \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}\).

б) \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 : \left(\frac{4}{9}\right)^2 = \frac{4}{9} : \frac{16}{81} = \frac{4}{9} \cdot \frac{81}{16} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}\).

в) \(\left(\frac{2}{7} \cdot \frac{5}{12} : \frac{5}{14}\right)^2 = \left(\frac{1}{7} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{14}{5}\right)^2 = \left(\frac{1}{7} \cdot 2\right)^2 = \left(\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{4}{49}\).

В последнем выражении в исходном примере ответ \(\frac{1}{9}\), проверим корректность:
\(\frac{2}{7} \cdot \frac{5}{12} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}\),
\(\frac{5}{42} : \frac{5}{14} = \frac{5}{42} \cdot \frac{14}{5} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}\),
тогда \(\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\).
Исправленный ход:
\(\left(\frac{2}{7} \cdot \frac{5}{12} : \frac{5}{14}\right)^2 = \left(\frac{5}{42} : \frac{5}{14}\right)^2 = \left(\frac{5}{42} \cdot \frac{14}{5}\right)^2 = \left(\frac{14}{42}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\).

а) Рассмотрим выражение \(\left(\frac{2}{3} : \frac{4}{9}\right)^2\). Деление дробей можно заменить умножением на обратную дробь, поэтому \(\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4}\). При умножении дробей перемножаем числители и знаменатели: числитель будет \(2 \cdot 9 = 18\), знаменатель \(3 \cdot 4 = 12\), то есть получаем дробь \(\frac{18}{12}\). Эту дробь можно упростить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 6, тогда получится \(\frac{3}{2}\).

Теперь возводим эту дробь в квадрат: \(\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}\). Дробь \(\frac{9}{4}\) можно представить в виде смешанного числа: \(2 \frac{1}{4}\), так как 9 делится на 4 два раза с остатком 1. Таким образом, ответ для пункта а) равен \(2 \frac{1}{4}\).

б) В выражении \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 : \left(\frac{4}{9}\right)^2\) сначала возьмём квадраты дробей: \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\) и \(\left(\frac{4}{9}\right)^2 = \frac{16}{81}\). Теперь делим \(\frac{4}{9}\) на \(\frac{16}{81}\), что равно умножению \(\frac{4}{9}\) на обратную дробь \(\frac{81}{16}\). Перемножаем числители: \(4 \cdot 81 = 324\), знаменатели: \(9 \cdot 16 = 144\), получаем \(\frac{324}{144}\). Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 36: \(\frac{324 : 36}{144 : 36} = \frac{9}{4}\). В виде смешанного числа это \(2 \frac{1}{4}\).

в) Рассмотрим выражение \(\left(\frac{2}{7} \cdot \frac{5}{12} : \frac{5}{14}\right)^2\). Сначала умножим \(\frac{2}{7}\) на \(\frac{5}{12}\): числитель \(2 \cdot 5 = 10\), знаменатель \(7 \cdot 12 = 84\), получается \(\frac{10}{84}\). Упростим дробь, разделив на 2: \(\frac{5}{42}\). Теперь делим \(\frac{5}{42}\) на \(\frac{5}{14}\), что равно умножению \(\frac{5}{42}\) на обратную дробь \(\frac{14}{5}\). Перемножаем числители: \(5 \cdot 14 = 70\), знаменатели: \(42 \cdot 5 = 210\), получаем \(\frac{70}{210}\). Упростим, разделив на 70: \(\frac{1}{3}\).

Теперь возводим \(\frac{1}{3}\) в квадрат: \(\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}\). Это и есть ответ для пункта в).