ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 67 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Любое ли число, которое оканчивается цифрой 3, делится на 3?

Нет, признак делимости на 3 не зависит от того, на какую цифру оканчивается число, а зависит от суммы цифр данного числа: если сумма цифр делится на 3, то и все число делится на 3.

Признак делимости на 3 основан на свойстве чисел, которое связано с суммой их цифр. Рассмотрим любое число, например \(N\), которое записано в десятичной системе как \(a_k a_{k-1} \ldots a_1 a_0\), где \(a_i\) — цифра на позиции \(i\). Тогда число можно представить в виде суммы \(N = a_0 \cdot 10^0 + a_1 \cdot 10^1 + \ldots + a_k \cdot 10^k\). Для проверки делимости числа на 3 важно понять, как ведут себя степени числа 10 по модулю 3.

Поскольку \(10 \equiv 1 \pmod{3}\), то \(10^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{3}\) для любого натурального \(n\). Это означает, что при делении на 3, каждая степень десяти сокращается до 1. Следовательно, при делении числа \(N\) на 3 его остаток равен остатку от суммы цифр:
\(N \equiv a_0 + a_1 + \ldots + a_k \pmod{3}\).
Если сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3.

Таким образом, признак делимости на 3 не зависит от того, на какую цифру оканчивается число. Например, число 123 и число 129 заканчиваются на разные цифры, но обе суммы цифр равны 6 и 12 соответственно, которые делятся на 3. Значит, оба числа делятся на 3. Это универсальное правило работает для всех чисел, независимо от их длины и последней цифры.