ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 632 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Докажите, что числа \(a\) и \(b\) взаимно обратны, если:
а) \(a = 0{,}5, b = 2\);
б) \(a = 1{,}25, b = \frac{4}{5}\);
в) \(a = 0{,}15, b = 6\frac{2}{3}\).

a) Пусть \(a=0{,}5\), \(b=2\). Проверяем произведение: \(0{,}5\cdot 2=1\). Следовательно, числа взаимно обратные.

б) Пусть \(a=1{,}25\), \(b=\frac{4}{5}\). Представим \(1{,}25=\frac{125}{100}=\frac{5}{4}\). Тогда \(\frac{5}{4}\cdot \frac{4}{5}=1\). Числа взаимно обратные.

в) Пусть \(a=0{,}15\), \(b=6\frac{2}{3}=\frac{20}{3}\). Представим \(0{,}15=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}\). Тогда \(\frac{3}{20}\cdot \frac{20}{3}=1\). Числа взаимно обратные.

a) Взаимно обратные числа дают при умножении единицу: если \(a\cdot b=1\), то \(a\) и \(b\) взаимно обратны. Пусть \(a=0{,}5\). Переведём десятичную дробь в обыкновенную: \(0{,}5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\). Тогда для обратного числа нужно взять число, которое при умножении на \(\frac{1}{2}\) даёт \(1\). Очевидно, таким числом является \(2\), поскольку \(\frac{1}{2}\cdot 2=1\). В десятичной записи это выглядит как \(0{,}5\cdot 2=1\), что подтверждает взаимную обратность.

б) Пусть \(a=1{,}25\). Преобразуем в дробь: \(1{,}25=\frac{125}{100}\). Сократим на \(25\): \(\frac{125}{100}=\frac{5}{4}\). Число, обратное к \(\frac{5}{4}\), равно \(\frac{4}{5}\), так как произведение числителя первого на знаменатель второго и знаменателя первого на числитель второго даёт \(1\): \(\frac{5}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{5\cdot 4}{4\cdot 5}=\frac{20}{20}=1\). Следовательно, при \(b=\frac{4}{5}\) получаем \(1{,}25\cdot \frac{4}{5}=1\), что подтверждает, что эти числа взаимно обратные.

в) Пусть \(a=0{,}15\). Переведём в обыкновенную дробь: \(0{,}15=\frac{15}{100}\). Сократим на \(5\): \(\frac{15}{100}=\frac{3}{20}\). Теперь рассмотрим смешанное число \(b=6\frac{2}{3}\). Переведём его в неправильную дробь: \(6\frac{2}{3}=6+\frac{2}{3}=\frac{18}{3}+\frac{2}{3}=\frac{20}{3}\). Проверим произведение: \(\frac{3}{20}\cdot \frac{20}{3}=\frac{3\cdot 20}{20\cdot 3}=\frac{60}{60}=1\). В десятичной форме это соответствует равенству \(0{,}15\cdot 6\frac{2}{3}=1\). Следовательно, \(a\) и \(b\) взаимно обратны во всех трёх пунктах, поскольку их произведение равно \(1\).