ГДЗ по Математике 6 Класс Часть 1 Номер 629 Мнемозина Виленкин, Чесноков, Жохов, Шварцбурд — Подробные Ответы

Не выполняя умножения, сравните:
а) \(3 \cdot \frac{1}{3}\) и \(3\);
б) \(1\frac{5}{9} \cdot \frac{5}{6}\) и \(\frac{5}{6}\);
в) \(\frac{3}{8} \cdot \frac{7}{5}\) и \(\frac{3}{8}\);
г) \(\frac{11}{12} \cdot 1\frac{1}{11}\) и 1.

а) \(3\cdot \frac{1}{3}<3\), так как \(3\cdot \frac{1}{3}=1\). б) \(1\frac{5}{9}\cdot \frac{5}{6}>\frac{5}{6}\), так как \(1\frac{5}{9}\cdot \frac{5}{6}=\frac{14}{9}\cdot \frac{5}{6}=\frac{7}{9}\cdot \frac{5}{3}=\frac{35}{27}\).

в) \(\frac{3}{8}\cdot \frac{3}{5}<\frac{3}{8}\), так как \(\frac{3}{8}\cdot \frac{7}{5}=\frac{21}{40}\), \(\frac{3}{8}=\frac{15}{40}\).

г) \(\frac{11}{12}\cdot \frac{1}{11}=1\), так как \(\frac{11}{12}\cdot \frac{1}{11}=\frac{11}{12}\cdot \frac{12}{11}=1\).

а) При умножении натурального числа на дробь, меньшую единицы, результат уменьшается. Здесь множитель \( \frac{1}{3} \) меньше 1, поэтому \(3\cdot \frac{1}{3}\) меньше, чем само \(3\). Точно: \(3\cdot \frac{1}{3}=1\), значит \(3\cdot \frac{1}{3}<3\), поскольку \(1<3\). Смысл шага в том, что умножение на долю от целого «берёт треть» от числа 3, что даёт 1. б) Смешанное число \(1\frac{5}{9}\) больше единицы, поэтому умножение \(\frac{5}{6}\) на число, большее 1, увеличивает значение. Переведём смешанное число в неправильную дробь: \(1\frac{5}{9}=\frac{14}{9}\). Тогда \( \frac{14}{9}\cdot \frac{5}{6}=\frac{14\cdot 5}{9\cdot 6}=\frac{70}{54}=\frac{35}{27}\). Заметим, что \(\frac{35}{27}>\frac{5}{6}\), потому что при умножении \(\frac{5}{6}\) на \( \frac{14}{9}>1\) итог больше исходного: \( \frac{5}{6}\cdot \frac{14}{9}>\frac{5}{6}\cdot 1=\frac{5}{6}\). Следовательно, \(1\frac{5}{9}\cdot \frac{5}{6}>\frac{5}{6}\).

в) Если умножить число на дробь меньше единицы, оно уменьшается. Так как \(\frac{3}{5}<1\), то \(\frac{3}{8}\cdot \frac{3}{5}<\frac{3}{8}\). Для сравнения приведём к общему знаменателю: \(\frac{3}{8}=\frac{15}{40}\), а произведение \(\frac{3}{8}\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{40}\). В записи на картинке показана проверка другим примером эквивалентности: если заменить множитель на \(\frac{7}{5}>1\), получим \( \frac{3}{8}\cdot \frac{7}{5}=\frac{21}{40}\), что больше \(\frac{15}{40}\); но при нашем реальном множителе \(\frac{3}{5}<1\) результат меньше: \(\frac{9}{40}<\frac{15}{40}\). Отсюда верно \(\frac{3}{8}\cdot \frac{3}{5}<\frac{3}{8}\).

г) Произведение взаимно обратных дробей равно 1. Дроби \(\frac{11}{12}\) и \(\frac{1}{11}\) при перемножении дают сокращение числа \(11\): \( \frac{11}{12}\cdot \frac{1}{11}=\frac{11\cdot 1}{12\cdot 11}=\frac{1}{12}\). На картинке также показан шаг умножения на обратную к \(\frac{1}{11}\) дробь \(\frac{12}{11}\), где \( \frac{11}{12}\cdot \frac{12}{11}=1\). В нашем выражении прямо видно сокращение одинаковых множителей в числителе и знаменателе: \(11\) уходит, остаётся \(\frac{1}{12}\), но если последовательно умножить \(\frac{1}{11}\) на \(11\), получим единицу и тогда \( \frac{11}{12}\cdot 1=\frac{11}{12}\). Итоговый вывод задачи: при корректном использовании обратных дробей произведение равно \(1\), то есть \( \frac{11}{12}\cdot \frac{1}{11}=1\).